1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho dãy số xác định như sau : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại số tự nhiên sao cho và đều chia hết cho . Lời giải : Xét dãy như sau : Dễ thấy : Vậy ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên dương […]
Bài toán : Cho dãy số thỏa mãn và : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Biến đổi công thức xác định dãy : Đặt ta được Xét dãy như sau : và Bằng quy nạp ta được . Từ đó : Tức dãy tăng, […]
Bài toán : Cho dãy số thỏa và : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Vì nên tồn tại các số sao cho : Ta có : Xét dãy như sau : Phương trình sai phân này cho ta : Do đó mà : […]
Bài toán : Xác định công thức tổng quát của dãy : Lời giải : Từ công thức xác định dãy, ta có : Do vậy nếu ta đặt ta được : Ta có và : Bằng quy nạp ta được : Từ đó ta được :
Bài toán (Macedonia National Olympiad 2010) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : Lời giải : Xét đồng dư theo modulo : Trong khi đó . Phương trình không có nghiệm nguyên.
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Bạc Liêu, tỉnh Bạc Liêu) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong lần lượt lấy ta được : Trừ vế theo vế hai kết quả trên : Nếu từ ta suy ra . Vô lí. Do đó […]
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : và Lời giải : Trong lấy được . Trong lấy được : Từ đó trở thành : Trong thay bởi : Từ đó trong thay được : Thử lại thỏa mãn. Có duy nhất một hàm số thỏa mãn bài ra là :
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic Duyên hải Bắc Bộ toán 11 năm 2012-2013) Cho là các số thực dương. Tìm hàm số thỏa mãn : Lời giải : Trường hợp thì trong lấy được : Từ đó được viết thành : Thay vào tìm được Trường hợp thì trong đổi chỗ cho nhau […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trước hết nếu có một số thực mà thì ở lấy được : Ta tìm được ngay hàm . Ta sẽ tìm số như sau. Ta sẽ chọn phù hợp để bị triệt tiêu. Muốn vậy phải chọn : […]
Bài toán (Moldova Team Selection Test 2014) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Ý tưởng làm gọn phương trình hàm đơn giản nhất là ta tìm cách triệt tiêu bằng cách chọn phù hợp. Muốn vậy : Như vậy ta phải tìm một số để . Trong lấy được […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Bến Tre, tỉnh Bến Tre năm 2013) Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Vì hàm không thỏa đề nên . Trong cho : Từ đây suy ra hàm số toàn ánh. Do đó với mọi số thực thì luôn tồn […]
Bài toán (Spain Mathematical Olympiad 2012) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Nếu , trong lấy thì được Nếu Ta chứng minh đơn ánh. Thực vậy, trong cho được : Với mọi số thực thỏa Suy ra : Như vậy ta có là đơn ánh. Trong cho được […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO thành phố Hà Nội 2013-2014) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Nhận thấy rằng hàm thỏa mãn bài ra. Gỉa sử . Trong cho : Từ đây suy ra hàm là toàn ánh. Do đó với mọi số thực thì luôn tồn tại […]
Bài toán (Macedonia National Olympiad 2011) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Xét là hàm hằng, dễ tìm được . Xét không hằng. Ta chứng minh nếu thì . Thật vậy, giả sử . Trong lấy thì : Do ta đang xét không hằng. Từ đó trong thay […]
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương : Lời giải : Biến đổi phương trình về dạng bậc hai ẩn và tham số : Phương trình này có . Ta chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại vô hạn các số nguyên dương sao cho biểu thức […]
Bài toán (Italy Team Selection Test 2007) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Ta thấy nếu hằng thì , xét không hằng. Ta chứng minh đơn ánh như sau. Với mọi thỏa . Trong lần lượt lấy và ta được : Từ hai điều trên suy ra , do […]
Bài toán (Switzerland Final Round 2010) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong cho được : Với mọi số thực mà ta đều có : Như vậy là đơn ánh. Từ đó trong cho ta được : Từ đó trong lại cho được : Đáp số của bài […]
Bài toán (Czech Polish Slovak Match 2012) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Nhận thấy hàm đồng nhất thỏa mãn. Gỉa sử Khi đó trong ta cho , ta được : Nhận thấy là một đa thức bậc ba theo nên tập giá trị của nó là . Từ […]
Bài toán (Moldova Team Selection Test 2014) Cho tam giác nhọn có phân giác trong . là hình chiếu của trên . giao nhau tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại . Chứng minh rằng vuông góc . Lời giải : Kẻ đường cao . Ta chứng minh đồng quy. Thật vậy, […]
Bài toán : Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự đó. Hai đường thẳng và theo thứ tự qua và vuông góc với . là điểm bất kì trên . Vẽ các tiếp tuyến đến đường tròn đường kính với là hai tiếp điểm. cắt tại . cắt tại . a) Chứng minh rằng […]