Bài toán : Xác định công thức tổng quát của dãy $(a_n)$ : \[\left\{\begin{matrix} a_1=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\\ a_{n+1}=2.3^{2^n}a_n^2-3^{2^n(n+1)},\;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.\] Lời giải : Từ công thức xác định dãy, ta có : \[\dfrac{a_{n+1}}{3^{2^n(n+1)}}=2.\dfrac{3^{2^n}.a_n^2}{3^{2^n(n+1)}}-1=2.\left ( \dfrac{a_n}{3^{2^{n-1}.n}} \right )^2-1\] Do vậy nếu ta đặt $x_n=\dfrac{a_n}{3^{2^{n-1}.n}}$ ta được : \[\left\{\begin{matrix} x_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ x_{n+1}=2x_n^2-1 \end{matrix}\right.\] Ta có $x_1=cos\dfrac{\pi }{6}$ và : \[x_2=2x_1^2-1=2cos^2\dfrac{\pi }{6}-1=cos\dfrac{2\pi }{6}\] Bằng quy nạp ta được : \[x_n=cos\dfrac{2^{n-1}\pi }{6}\] Từ đó ta được : \[a_n=3^{2^{n-1}.n}.cos\dfrac{2^{n-1}\pi }{6},\;\forall n\in \mathbb{N}^*\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Sequence – Limit

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Xác định công thức tổng quát của dãy $(a_{n})$ :

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = \frac{3 3}{2} a_{n + 1} = 2. 3^{2^{n}} a_{n}^{2} - 3^{2^{n} (n + 1)}, \forall n \geq 1$

Lời giải :

Từ công thức xác định dãy, ta có :

$\frac{a _{n + 1}}{3 ^{2^{n} (n + 1)}} = 2. \frac{3 ^{2^{n}} . a _{n}^{2}}{3 ^{2^{n} (n + 1)}} - 1 = 2. (\frac{a _{n}}{3 ^{2^{n - 1} . n}})^{2} - 1$

Do vậy nếu ta đặt $x_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{2^{n - 1} . n}}$ ta được :

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = \frac{3}{2} x_{n + 1} = 2 x_{n}^{2} - 1$

Ta có $x_{1} = cos \frac{π}{6}$ và :

$x_{2} = 2 x_{1}^{2} - 1 = 2 co s^{2} \frac{π}{6} - 1 = cos \frac{2 π}{6}$

Bằng quy nạp ta được :

$x_{n} = cos \frac{2 ^{n - 1} π}{6}$

Từ đó ta được :

$a_{n} = 3^{2^{n - 1} . n} . cos \frac{2 ^{n - 1} π}{6}, \forall n \in N^{*}$

Mô tả

Bài toán : Xác định công thức tổng quát của dãy : Lời giải : Từ công thức xác định dãy, ta có : Do vậy nếu ta đặt ta được : Ta có và : Bằng quy nạp ta được : Từ đó ta được :

Dãy số - Giới hạn

Nguồn: julielltv