1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (IMO Shortlist 2008) Cho tam giác nhọn trực tâm . là trung điểm của các cạnh . Đường tròn cắt tại . Tương tự ta xác định các điểm . Chứng minh rằng sáu điểm cùng thuộc một đường tròn. Lời giải : Ta có vuông góc do . Mà đi qua nên là […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO 2013-2014 tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) Cho tam giác không cân nội tiếp . Hai tiếp tuyến của tại cắt nhau tại . cắt tại khác . theo thứ tự là trung điểm của . Hai đường thẳng cắt tại a) Chứng minh rằng b) Chứng minh rằng […]
Bài toán (Kiểm tra trường Đông toán học miền Bắc 2013-2014) Cho tam giác nội tiếp , hai điểm cố định và không là đường kính. thay đổi sao cho tam giác nhọn. Đường tròn tâm qua cắt và tại . cắt tại . a) Chứng minh rằng vuông góc . b) Giao của tại […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ sồ 412) Cho hai đường tròn sao cho tâm của nằm trên . Gọi là hai giao điểm của . là điểm nằm trên , là điểm nằm trên sao cho tiếp xúc tại và tiếp xúc tại . Đường thẳng cắt tại , cắt tại […]
Bài toán (Luyện tập đội tuyển Olympic 30-4 lớp 11 THPT Chuyên Quang Trung, Bình Phước) Cho tam giác có và nội tiếp . Phân giác ngoài của góc cắt tại . theo thứ tự là trung điểm của . là giao của và là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng song song […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2011) Cho dãy số thỏa mãn : Chứng minh rằng Lời giải : Ta xét dãy số như sau : Giải phương trình sai phân này, ta được : Hơn nữa dễ thấy rằng . Do đó ta chỉ cần chứng tỏ : Ta có : Do nên ta chỉ cần […]
Bài toán : Cho dãy số được xác định như sau : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì là một số chính phương. Lời giải : Phương trình sai phân đề bài ta cho ta nghiệm : Để ý là ta có : Nên : Ta có thể viết : Do đó […]
Bài toán : Cho dãy số nguyên : và : Chứng minh rằng là số lẻ với mọi số nguyên dương lớn hơn . Lời giải : Ta tính được . Tuyến tính hóa dãy : Ta được hệ : Như vậy ta xét dãy như sau : Ta sẽ chứng minh hai dãy và […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 1997) Cho dãy số như sau : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì luôn là một số chính phương. Lời giải : Không khó để chứng minh được bằng quy nạp : Từ đó áp dụng công thức xác định dãy ta có : Phương trình có […]
Bài toán : Cho các số thực thuộc khoảng . Xét dãy số như sau : Tính giới hạn hữu hạn nếu có của . Lời giải : Xét dãy số phụ như sau : Bằng quy nạp ta được : Từ đó nên dãy tăng. Kết hợp với việc bị chặn trên ta suy […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO 2013-2014 tỉnh Đồng Tháp) Cho tam giác nhọn ngoại tiếp nội tiếp . Gọi là trung điểm cung không chứa . đối xứng với qua . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại . là hình chiếu của trên . Gọi là trung điểm của và là giao của […]
Bài toán (Kiểm tra đội tuyển THPT Chuyên Hà Tĩnh 2013-2014) Cho tam giác đều và điểm di động trên đoạn thẳng . Gọi là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc của tam giác và là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác . Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức sau : Lời giải : Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz : Cộng vế theo vế ba kết quả trên, ta được điều phải chứng minh
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta đặt thì được và . Bất đẳng thức cần chứng minh viết thành : Theo Cauchy-Schawz : Ta cần chỉ ra rằng : Thế nhưng đây đơn giản chỉ là một đẳng thức : Hiển nhiên. Ta […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời giải : Ta sẽ chứng minh : Thật vậy, theo AM-GM : Cộng vế theo vế hai kết quả trên, ta được . Từ đó chú ý đẳng thức : Ta áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz […]
Bài toán (Chọn học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội năm 2011-2012) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta có : Do vậy ta cần chứng minh : Ta sẽ chứng minh từng kết quả sau : Theo AM-GM : Thiết lập […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO THPT Chuyên Đại học Sư phạm, ĐHQG Hà Nội 2012-2013) Cho thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : Hơn nữa theo bất đẳng thức Minkowski ta có : Vậy nên ta chỉ cần chứng minh : Thế nhưng đơn giản đây […]
Bài toán (Chọn đội tuyển Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh) Cho . Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt thì và . Cần chứng minh : Theo BĐT Minkowski : Ta cần chứng minh : Điều này luôn đúng theo AM-GM :
Bài toán (Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2012) Cho các số dương thỏa . Chứng minh : Lời giải : Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz : Ta cần chỉ ra : Dễ thấy đã có : Nên ta sẽ chứng minh : Mà ta lại có : Nên chỉ cần chứng minh : Điều này đúng […]
Bài toán : Cho dãy thỏa mãn : Với mỗi số nguyên dương ta gọi là số dư khi chia cho . Chứng minh rằng dãy là dãy tuần hoàn. Lời giải : Dãy số có công thức : Xét dãy các bộ hai số : Dãy trên có vô số bộ nhưng do với […]