1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Hà Tĩnh 2013-2014) Cho tam giác , đường cao cắt nhau tại . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt tại . Đường thẳng qua vuông góc , đường thẳng qua vuông góc cắt nhau tại . a) Chứng minh rằng là phân […]
Bài toán (Đề thi thử VMO 2013-2014 trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn .Gọi là tiếp điểm của đường tròn với .Trên tia đối tia lấy .Biết rằng hai đường tròn nội tiếp tam giác và cắt nhau tại hai điểm . Chứng minh rằng: a)Các […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2012) Cho tứ giác lồi nội tiếp và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi tương ứng là giao điểm các cặp đường thẳng và , và . Gọi tương ứng là giao điểm các phân giác trong của các cặp góc . Gỉa sử rằng bốn điểm […]
Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại một tập hợp gồm phần tử sao cho bất kì một tập con nào của cũng có tổng các phần tử là lũy thừa của một số tự nhiên. Lời giải : Gỉa sử rằng : Ta chọn các số […]
Bài toán : Cho số nguyên tố và dãy với . Chứng minh rằng : Lời giải : Bổ đề 1 : Cho số nguyên tố . Khi đó ta có Chứng minh bổ đề 1 : Nếu thì hiển nhiên là . Gỉa sử Nếu thì ta hoàn tất bổ đề. Nếu . Suy ra . Mâu thuẫn. […]
Bài toán : (Vietnamese Team Selection Test 2006) Cho dãy số thực được xác định bởi với mọi . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , số là một số chính phương và nó có ít nhất ước nguyên tố phân biệt. Lời giải : Bổ đề : Nếu với mọi số nguyên dương […]
Bài toán : Cho hai dãy số được xác định bởi : Tìm tất cả các số tự nhiên để tích là một số chính phương. Lời giải : Bằng phương pháp thế ta tìm được dãy : Phương trình sai phân này cho ta : Ta sẽ chứng minh là số chính phương với […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : Tồn tại hay không các số nguyên dương sao cho Lời giải : Ta có . Ta chứng minh bằng quy nạp rằng : Gỉa sử Khi đó ta có : Theo nguyên lí quy nạp ta có . Từ đó với mọi số nguyên dương […]
Bài toán : Gọi là nghiệm dương của phương trình . Xét dãy số như sau : Tìm số dư của phép chia cho . Lời giải : Ta có : Ta có : Từ đó ta được ngay : Do đó mà : Do vậy ta có :
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng là số chính phương với mọi tự nhiên. Lời giải : Giải phương trình sai phân đề bài ta được : Ta có các biểu diễn sau : Để ý ta có Từ đó : Là một số chính phương với mọi […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 1995) Cho dãy số thỏa và : a) Chứng minh rằng b) Chứng minh rằng với mọi nguyên dương thì không là số chính phương. Lời giải : a) Xét hai dãy lần lượt là hai dãy số dư khi chia số hạng tương ứng của dãy cho . Ta […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 1998) Cho dãy số xác định bởi : Tìm số nguyên dương bé nhất thỏa mãn : với mọi số nguyên dương . Lời giải : Đặt ta được : Giải phương trình sai phân này ta được : Và suy ra : Vì nên : Nếu chẵn thì : […]
Bài toán (Đề thi Olympic Duyên Hải Bắc Bộ 2012-2013 môn toán lớp 11) Cho tam giác ngoại tiếp và nội tiếp . Tiếp điểm với trên theo thứ tự là . là chân vuông góc hạ từ xuống . cắt tại . Tiếp tuyến tại của cắt tại . Chứng minh tam giác cân. […]
Bài toán : Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại . Một tiếp tuyến của tại cắt tại . cắt lần nữa tại . Trên cung không chứa của ta lấy điểm . Kẻ tiếp tuyến đến với thuộc . cắt tại . a) Chứng minh rằng bốn điểm đồng viên. b) Chứng minh […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp , gọi là điểm nằm trong tam giác thỏa mãn là phân giác trong góc . Kẻ lần lượt vuông góc với . Gọi thuộc sao cho vuông góc . Kẻ cắt tại . Gọi là trung điểm của . a) Chứng minh rằng song song với […]
Bài toán : Cho và dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Xét dãy số như sau : Bằng quy nạp dễ thấy được với mọi . Hàm số đồng biến trên . Theo AM-GM, ta lại có : Từ […]
Bài toán : Cho hai dãy số thỏa mãn và : Tính các giới hạn và . Lời giải : Ta có : Hay : Tương tự : Từ đó mà : Để ý rằng : Mà nên theo nguyên lí kẹp ta được : Hơn nữa cũng dễ thấy : Nên ta được : Từ […]
Bài toán : Cho dãy số như sau : Tính . Lời giải : Ta có : Từ đó : Đặt ta có . Ta xét : Chú ý vì nên : Từ đó mà : Lại có nên theo nguyên lí kẹp ta được :
Bài toán : Cho dãy số được xác định bởi : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Xét dãy số như sau : Dễ thấy . Quy nạp ta được dãy giảm mà bị chặn dưới bởi nên có giới hạn hữu hạn . […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2012 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh) Cho các số thực dương . Xét dãy số : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Ta xét hai dãy số phụ như sau […]