Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, gọi $P$ là điểm nằm trong tam giác thỏa mãn $AP$ là phân giác trong góc $BAC$. Kẻ $PE,PF$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$. Gọi $D$ thuộc $(O)$ sao cho $AP$ vuông góc $AD$. Kẻ $DP$ cắt $EF$ tại $Q$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh rằng $QM$ song song với $AB$

b) Gọi $K,L$ là tâm các đường tròn $(BQF),(CEQ)$. Chứng minh rằng $(K),(L)$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

c) Kéo dài $QM$ cắt $(K),(L)$ tại $S,T$. Chứng minh rằng $AO$ và trung trực của $ST$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

Lời giải :

a) $AP$ giao $(O)$ tại $U$. Không khó để thấy $U,M,O,D$ thẳng hàng.

Gọi giao của $AP$ và $FE$ là $W$. Ta có thể thấy rằng :

$$\frac{AW}{AP}=\frac{AF.cos\frac{A}{2}}{AF:cos\frac{A}{2}}=co{s}^2\frac{A}{2}$$

Và :

$\frac{DM}{DU}$$=\frac{MC.tan\angle DCM}{2R}$$=\frac{BC.tan\left(\frac{\pi -A}{2}\right)}{4R}$$=\frac{sinA.cot\frac{A}{2}}{2}$$=co{s}^2\frac{A}{2}$

Do vậy mà $\frac{AW}{AP}=\frac{DM}{DU}$. Hơn nữa do cùng vuông góc với $AP$ mà $EF$ song song $AD$.

Theo Thales :

$$\frac{AW}{AP}=\frac{QD}{DP}$$

Từ đó có ngay $\frac{DM}{DU}=\frac{QD}{DP}$, suy ra $QM$ song song $AP$ theo Thales đảo.

b) Gọi $X$ là giao của $DP$ và $(O)$. Ta chứng minh các tứ giác $BFQX,CEQX$ nội tiếp thì hoàn tất.

Ta có $AD\parallel EF\Rightarrow \angle kAF=\angle AFE$ mà $\angle kAF=\angle DCB=\angle BXQ$

Nên ta được ngay tứ giác $BFQX$ nội tiếp vì :

$$\angle BXQ=\angle AFE$$

Dễ thấy $D$ là trung điểm của cung $BAC$ nên $\angle BXQ=\angle CXQ$

Hơn nữa vì $BFQX$ nội tiếp nên $\angle BXQ=\angle AFE=\angle AEF$. Kéo theo $\angle AEF=\angle QXC$. Như vậy tứ giác $CEQX$ cũng nội tiếp.

c) Kẻ đường kính $AOH$ của $(O)$. Ta sẽ chứng minh $HU$ là trung trực của $ST$.

Do $QM\parallel AP,AP\perp EF$ nên $EF\perp QM$. Suy ra $FS$ là đường kính của $(K)$.

Suy ra $BS\perp AB$. Mà ta cũng có $HB\perp AB$ do $AH$ là đường kính của $(O)$.

Nên ba điểm $B,S,H$ thẳng hàng. Một cách tương tự $T,H,C$ thẳng hàng.

Bây giờ, chú ý là :

$$\angle HST=\angle QSB=\angle QXB=\angle QXC=\angle QTC=\angle STH$$

Nên tam giác $SHT$ cân tại $H$. Hơn nữa cũng có $HU$ vuông góc $ST$ vì cùng vuông góc $AP$.

Như vậy $HU$ là trung trực của $ST$. Ta được điều phải chứng minh.