Bài toán : Cho hai dãy số $(a_n),(b_n)$ thỏa mãn $a_1=3,b_1=2$ và : \[\left\{\begin{matrix} a_{n+1}=a_n^2+2b_n^2\\ b_{n+1}=2a_nb_n \end{matrix}\right.\] Tính các giới hạn $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\sqrt[2^n]{b_n}$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\sqrt[2^n]{a_1a_2a_3...a_n}$. Lời giải : Ta có : \[a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{2}=\left ( a_n+b_n\sqrt{2} \right )^2=...=(a_1+b_1\sqrt{2})^{2^{n}}=(3+2\sqrt{2})^{2^n}=(1+\sqrt{2})^{2^{n+1}}\] Hay : \[a_n+b_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2^n}\] Tương tự : \[a_n-b_n\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{2^n}\] Từ đó mà : \[a_n=\dfrac{(1+\sqrt{2})^{2^n}+(1-\sqrt{2})^{2^n}}{2},b_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{2^n}-(1-\sqrt{2})^{2^n}}{2\sqrt{2}}\] Để ý rằng : \[\dfrac{(1+\sqrt{2})^{2^n}}{4\sqrt{2}}< b_n< a_n< (1+\sqrt{2})^{2^n}\Rightarrow \dfrac{(1+\sqrt{2})}{\sqrt[2^n]{4\sqrt{2}}}< \sqrt[2^n]{b_n}< \sqrt[2^n]{a_n}< 1+\sqrt{2}\] Mà $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt[2^n]{4\sqrt{2}}}=1+\sqrt{2}$ nên theo nguyên lí kẹp ta được : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\sqrt[2^n]{a_n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\sqrt[2^n]{b_n}=1+\sqrt{2}\] Hơn nữa cũng dễ thấy : \[a_nb_n=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\left [ (1+\sqrt{2})^{2^{n+1}}-(1-\sqrt{2})^{2^{n+1}} \right ]=\dfrac{1}{2}b_{n+1}\] Nên ta được : \[a_1a_2...a_n=\dfrac{b_2}{2b_1}.\dfrac{b_3}{2b_2}...\dfrac{b_{n+1}}{2b_n}=\dfrac{b_{n+1}}{b_1.2^n}=\dfrac{b_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{a_nb_n}{2^n}\] Từ đó : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\sqrt[2^n]{a_1a_2...a_n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\sqrt[2^n]{\dfrac{a_nb_n}{2^n}}=(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : Cho hai dãy số $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa mãn $a_{1} = 3, b_{1} = 2$ và :

${a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 b_{n}^{2} b_{n + 1} = 2 a_{n} b_{n}$

Tính các giới hạn $n \to + \infty lim 2^{n} b_{n}$ và $n \to + \infty lim 2^{n} a_{1} a_{2} a_{3} ... a_{n}$ .

Lời giải :

Ta có :

$a_{n + 1} + b_{n + 1} 2 = (a_{n} + b_{n} 2)^{2} = ... = (a_{1} + b_{1} 2)^{2^{n}} = (3 + 22)^{2^{n}} = (1 + 2)^{2^{n + 1}}$

Hay :

$a_{n} + b_{n} 2 = (1 + 2)^{2^{n}}$

Tương tự :

$a_{n} - b_{n} 2 = (1 - 2)^{2^{n}}$

Từ đó mà :

$a_{n} = \frac{( 1 + 2 ) ^{2^{n}} + ( 1 - 2 ) ^{2^{n}}}{2}, b_{n} = \frac{( 1 + 2 ) ^{2^{n}} - ( 1 - 2 ) ^{2^{n}}}{2 2}$

Để ý rằng :

$\frac{( 1 + 2 ) ^{2^{n}}}{4 2} < b_{n} < a_{n} < (1 + 2)^{2^{n}} \Rightarrow \frac{( 1 + 2 )}{2 ^{n} 4 2} < 2^{n} b_{n} < 2^{n} a_{n} < 1 + 2$

Mà $n \to + \infty lim \frac{1 + 2}{2 ^{n} 4 2} = 1 + 2$ nên theo nguyên lí kẹp ta được :

$n \to + \infty lim 2^{n} a_{n} = n \to + \infty lim 2^{n} b_{n} = 1 + 2$

Hơn nữa cũng dễ thấy :

$a_{n} b_{n} = \frac{1}{4 2} [(1 + 2)^{2^{n + 1}} - (1 - 2)^{2^{n + 1}}] = \frac{1}{2} b_{n + 1}$

Nên ta được :

$a_{1} a_{2} ... a_{n} = \frac{b _{2}}{2 b _{1}} . \frac{b _{3}}{2 b _{2}} ... \frac{b _{n + 1}}{2 b _{n}} = \frac{b _{n + 1}}{b _{1} . 2 ^{n}} = \frac{b _{n + 1}}{2 ^{n + 1}} = \frac{a _{n} b _{n}}{2 ^{n}}$

Từ đó :

$n \to + \infty lim 2^{n} a_{1} a_{2} ... a_{n} = n \to + \infty lim 2^{n} \frac{a _{n} b _{n}}{2 ^{n}} = (1 + 2)^{2} = 3 + 22$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả