Geometry

Bài toán (Đề thi thử VMO 2013-2014 trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$.Gọi $D,E$ là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC,AC$.Trên tia đối tia $CB$ lấy $X$.Biết rằng hai đường tròn nội tiếp tam giác $ABX$ và $ACX$ cắt nhau tại hai điểm $P,Q$. Chứng minh rằng: a)Các đường thẳng $DE$ ,phân giác trong góc $ABC$ và đường trung bình tam giác $ABC$ đồng qui. b)Đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ đi động trên tia đối tia $CB$.

Lời giải :

a) Gọi $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$. Gọi $Z$ là giao của $DE$ và $BI$. Bài toán hoàn tất nếu ta chỉ ra được $M,Z,N$ thẳng hàng. Gọi $S$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $AB$.

Dễ thấy rằng $CS,AD,BE$ đồng quy tại điểm Gergonne của tam giác $ABC$ nên ta có :

$$Z(ESAB)=-1$$

Dễ dàng thấy hai tam giác $BSZ$ và $BDZ$ bằng nhau nên $\angle SZB=\angle DZB$. Theo định lí về chùm điều hòa ta có $\angle AZB=90^0$. Như vậy $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AZB$.

Ta được tam giác $MZB$ cân nên $\angle MZB=\angle MBZ=\angle ZBD$, suy ra $MZ\parallel BD\equiv BC$

Mà ta đã có $MN\parallel BC$ theo tính chất đường trung bình nên ta có $M,Z,N$ thẳng hàng.

Ta có điều phải chứng minh.

b) Gọi $I_1,I_2$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $ABX,ACX$.

Trong tam giác $ABX$, ta gọi tiếp điểm với $(I_1)$ của $BX,AX$ lần lượt là $J,K$. Theo câu a ta có $B{I}_1,JK,MN$ đồng quy tại $T$.

Trong tam giác $ACX$, ta gọi tiếp điểm với $(I_2)$ của $CX,AX$ lần lượt là $U,V$. Theo câu a ta có $C{I}_2,UV,MN$ đồng quy tại $F$.

Gọi giao điểm của $PQ$ và $MN$ là $W$. Ta chứng minh điểm $W$ cố định như sau.

Dễ thấy ba đường thẳng $JK,PQ,UV$ song song vì cùng vuông góc với $I_1{I}_2$.

Hai đường tròn $(I_1),(I_2)$ có tiếp tuyến chung ngoài $UV$ và trục đẳng phương $PQ$ nên $PQ$ chia đôi $UV$. Từ đó suy ra $PQ$ chia đôi $FT$ vì $FT\parallel UV$. Hay nói cách khác $W$ là trung điểm của $FT$. Mặt khác $F,T$ đều cố định nên $W$ cố định. Như vậy $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.