Bài toán : Cho hai dãy số $(a_n),(b_n)$ được xác định bởi : \[\left\{\begin{matrix} a_0=3,b_0=-3\\ a_n=3a_{n-1}+2b_{n-1}\\ b_n=4a_{n-1}+3b_{n-1} \end{matrix}\right.,\;\forall n\in \mathbb{N}^*\] Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để tích $(b_0^2+9)(b_1^2+9)...(b_n^2+9)$ là một số chính phương. Lời giải : Bằng phương pháp thế ta tìm được dãy $(b_n)$ : \[b_{n+1}=6b_n-b_{n-1}\] Phương trình sai phân này cho ta : \[b_n=\dfrac{-3+3\sqrt{2}}{2}.(2+2\sqrt{2})^n-\dfrac{3+3\sqrt{2}}{2}.(3-2\sqrt{2})^n\] Ta sẽ chứng minh $(b_n^2+9)(b_{n+1}^2+9)$ là số chính phương với mọi $n$ tự nhiên. Thật vậy, ta có các biểu diễn : \[\left ( 3\pm 2\sqrt{2} \right )^n=A_n\pm B_n\sqrt{2}\;\;\left ( A_n,B_n\in \mathbb{Z} \right )\] Để ý có $A^2-2B^2=1$. Ta có : \[b_n=\dfrac{-3+3\sqrt{2}}{2}(A_n+B_n\sqrt{2})-\dfrac{3+3\sqrt{2}}{2}(A_n-B_n\sqrt{2})=-3A_n+6B_n\] \[b_{n+1}=\dfrac{-3+3\sqrt{2}}{2}(A_n+B_n\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})-\dfrac{3+3\sqrt{2}}{2}(A_n-B_n\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3A_n+6B_n\] Suy ra : \[(b_n^2+9)(b_{n+1}^2+9)=81\left [ (A_n-2B_n)^2+1 \right ]\left [ (A_n+2B_n)^2+1 \right ]=81\left [ (A_n^2-4B_n^2)+2A_n^2+8B_n^2+1 \right ]=81\left [ (A_n^2-2)^2+6A_n^2-3 \right ]=81(A_n^2-1)^2\] Là một số chính phương với mọi $n$ tự nhiên Do đó dễ dàng suy ra ngay nếu $n$ lẻ thì tích $(b_0^2+9)(b_1^2+9)...(b_n^2+9)$ chính phương. Ta sẽ chứng minh nếu $n$ chẵn thì tích $(b_0^2+9)(b_1^2+9)...(b_n^2+9)$ không chính phương. Thật vậy, nếu $n$ chẵn : \[\underset{k=0}{\overset{n}{\prod} }(b_k^2+9)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\prod} }(b_k^2+9)(b_n^2+9)\] Do tích $\underset{k=0}{\overset{n-1}{\prod} }(b_k^2+9)$ chính phương nên $b_n^2+9$ chính phương. Gỉa sử : \[b_n^2+9=M_n^2\;\;(M_n\in \mathbb{Z})\] Kéo theo : \[(M-b_n)(M+b_n)=9\Rightarrow b_n=4\] Tiếp theo ta chứng minh không có số hạng nào của $(b_n)$ bằng $4$. Để ý rằng : \[b_0=-3\equiv 5\;(mod\;8),b_1=3\equiv 3\;(mod\;8),b_2=21\equiv 5\;(mod\;8),b_3=123\equiv 3\;(mod\;8)\] Quy nạp ta được $b_n\equiv 3,5\;(mod\;8)$. Từ đó dãy $(b_n)$ không chứa số $4$. Vậy để tích $(b_0^2+9)(b_1^2+9)...(b_n^2+9)$ chính phương thì tất cả các giá trị cần tìm là $n$ lẻ.

Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho hai dãy số $(a_{n}), (b_{n})$ được xác định bởi :

$⎩ ⎨ ⎧ a_{0} = 3, b_{0} = - 3 a_{n} = 3 a_{n - 1} + 2 b_{n - 1} b_{n} = 4 a_{n - 1} + 3 b_{n - 1}, \forall n \in N^{*}$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để tích $(b_{0}^{2} + 9) (b_{1}^{2} + 9) ... (b_{n}^{2} + 9)$ là một số chính phương.

Lời giải :

Bằng phương pháp thế ta tìm được dãy $(b_{n})$ :

$b_{n + 1} = 6 b_{n} - b_{n - 1}$

Phương trình sai phân này cho ta :

$b_{n} = \frac{- 3 + 3 2}{2} . (2 + 22)^{n} - \frac{3 + 3 2}{2} . (3 - 22)^{n}$

Ta sẽ chứng minh $(b_{n}^{2} + 9) (b_{n + 1}^{2} + 9)$ là số chính phương với mọi $n$ tự nhiên.

Thật vậy, ta có các biểu diễn :

$(3 \pm 22)^{n} = A_{n} \pm B_{n} 2 (A_{n}, B_{n} \in Z)$

Để ý có $A^{2} - 2 B^{2} = 1$ . Ta có :

$b_{n} = \frac{- 3 + 3 2}{2} (A_{n} + B_{n} 2) - \frac{3 + 3 2}{2} (A_{n} - B_{n} 2) = - 3 A_{n} + 6 B_{n}$

$b_{n + 1} = \frac{- 3 + 3 2}{2} (A_{n} + B_{n} 2) (3 + 22) - \frac{3 + 3 2}{2} (A_{n} - B_{n} 2) (3 - 22) = 3 A_{n} + 6 B_{n}$

Suy ra :

$(b_{n}^{2} + 9) (b_{n + 1}^{2} + 9) = 81 [(A_{n} - 2 B_{n})^{2} + 1] [(A_{n} + 2 B_{n})^{2} + 1] = 81 [(A_{n}^{2} - 4 B_{n}^{2}) + 2 A_{n}^{2} + 8 B_{n}^{2} + 1] = 81 [(A_{n}^{2} - 2)^{2} + 6 A_{n}^{2} - 3] = 81 (A_{n}^{2} - 1)^{2}$

Là một số chính phương với mọi $n$ tự nhiên

Do đó dễ dàng suy ra ngay nếu $n$ lẻ thì tích $(b_{0}^{2} + 9) (b_{1}^{2} + 9) ... (b_{n}^{2} + 9)$ chính phương.

Ta sẽ chứng minh nếu $n$ chẵn thì tích $(b_{0}^{2} + 9) (b_{1}^{2} + 9) ... (b_{n}^{2} + 9)$ không chính phương. Thật vậy, nếu $n$ chẵn :

$k = 0 \prod n (b_{k}^{2} + 9) = k = 0 \prod n - 1 (b_{k}^{2} + 9) (b_{n}^{2} + 9)$

Do tích $k = 0 \prod n - 1 (b_{k}^{2} + 9)$ chính phương nên $b_{n}^{2} + 9$ chính phương.

Gỉa sử :

$b_{n}^{2} + 9 = M_{n}^{2} (M_{n} \in Z)$

Kéo theo :

$(M - b_{n}) (M + b_{n}) = 9 \Rightarrow b_{n} = 4$

Tiếp theo ta chứng minh không có số hạng nào của $(b_{n})$ bằng $4$ .

Để ý rằng :

$b_{0} = - 3 \equiv 5 (m o d 8), b_{1} = 3 \equiv 3 (m o d 8), b_{2} = 21 \equiv 5 (m o d 8), b_{3} = 123 \equiv 3 (m o d 8)$

Quy nạp ta được $b_{n} \equiv 3, 5 (m o d 8)$ . Từ đó dãy $(b_{n})$ không chứa số $4$ .

Vậy để tích $(b_{0}^{2} + 9) (b_{1}^{2} + 9) ... (b_{n}^{2} + 9)$ chính phương thì tất cả các giá trị cần tìm là $n$ lẻ.

Arithmetic Sequence

Đề bài

Mô tả