Geometry

Bài toán (Đề thi Olympic Duyên Hải Bắc Bộ 2012-2013 môn toán lớp 11)

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ và nội tiếp $(O)$. Tiếp điểm với $(I)$ trên $BC,CA,AB$ theo thứ tự là $D,E,F$. $H$ là chân vuông góc hạ từ $D$ xuống $EF$. $AH$ cắt $(O)$ tại $G$. Tiếp tuyến tại $G$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. Chứng minh tam giác $TDG$ cân.

Lời giải :

Theo định lí sin trong tam giác $BGC$ :

$$\frac{BG}{GC}=\frac{sin\angle GBC}{sin\angle GCB}=\frac{sin\angle HAE}{sin\angle HAF}$$

Lại theo định lí sin trong các tam giác $AFH,AEH$ :

$\frac{HF}{sin\angle HAF}$$=\frac{HA}{sin\angle AFH}$$=\frac{HA}{sin\angle AEH}$$=\frac{HE}{sin\angle HAE}$$\Rightarrow \frac{sin\angle HAF}{sin\angle HAE}$$=\frac{HF}{HE}$

Lại có :

$\frac{HF}{HE}$$=\frac{FD.cos\angle EFD}{DE.cos\angle FED}$$=\frac{\frac{BD.sin\angle B}{sin\angle BDF}.cos\left(\pi -\angle AFE-\angle BFD\right)}{\frac{DC.sin\angle C}{sin\angle EDC}.cos\left(\pi -\angle DEC-\angle FEA\right)}$$=\frac{BD}{DC}$

Từ đó ta có :

$$\frac{BG}{GC}=\frac{BD}{DC}$$

Suy ra $GD$ là phân giác trong tam giác $BGC$.

Kẻ phân giác ngoài $GS$ ta có hàng điều hòa phân giác :

$$(SDBC)=-1$$

Do đó nếu ta gọi trung điểm của $SD$ là $T^{\prime }$ thì theo hệ thức Maclaurin :

$$\overline{B{T}^{\prime }}.\overline{BD}=\overline{BC}.\overline{BS}$$

$$\overline{C{T}^{\prime }}.\overline{CD}=\overline{CB}.\overline{CS}$$

Lần lượt chia hai đẳng thức trên theo vế :

$\frac{\overline{B{T}^{\prime }}}{\overline{C{T}^{\prime }}}$$=-\frac{\overline{BS}}{\overline{CS}}.\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}$

Chú ý theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có :

$$\frac{BS}{CS}=\frac{BG}{GC}=\frac{BD}{DC}$$

Do đó mà $\frac{\overline{B{T}^{\prime }}}{\overline{C{T}^{\prime }}}=\frac{B{G}^2}{C{G}^2}$

Hơn nữa vì hai tam giác $TGB$ và $TCG$ đồng dạng nên ta có :

$\frac{B{G}^2}{C{G}^2}$$=\frac{T{B}^2}{T{G}^2}$$=\frac{T{B}^2}{\overline{TC}.\overline{TB}}$$=\frac{\overline{BT}}{\overline{CT}}$

Suy ra :

$$\frac{\overline{BT}}{\overline{CT}}=\frac{\overline{B{T}^{\prime }}}{\overline{C{T}^{\prime }}}\Rightarrow T\equiv T^{\prime }$$

Từ đó để ý rằng $T$ chính là tâm ngoại tiếp tam giác $SGD$ nên $TG=TD$. Vậy tam giác $TGD$ cân.