Arithmetic Sequence

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 1995)

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_0=1,a_1=3$ và :

$$a_{n+2}=\{\begin{array}{c}{a}_{n+1}+9a_{n}khi2\mid n\\ 9a_{n+1}+5a_{n}khi2\nmid n\end{array}$$

a) Chứng minh rằng $20\mid a_{1995}^2+a_{1996}^2+a_{1997}^2+a_{1998}^2+a_{1999}^2+a_{2000}^2$

b) Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $a_{2n+1}$ không là số chính phương.

Lời giải :

a) Xét hai dãy $(x_n),(y_n)$ lần lượt là hai dãy số dư khi chia số hạng tương ứng của dãy $(a_n)$ cho $4,5$.

Ta có :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=1,x_1=3\\ x_{n+2}\equiv x_{n+1}+x_n\end{array}$$

Ta lần lượt tính được :

$$x_2=0,x_3=3,x_4=3,x_5=2,x_6=1,x_7=3,x_8=0,x_9=3,x_{10}=3,...$$

Từ đó ta dự đoán :

$$x_n=x_{n+6k},\forall n\ge 2,k\ge 1$$

Và dễ dàng chứng minh được điều này bằng quy nạp.

Từ đó mà :

$\underset{k=1995}{\sum ^{2000}}{a}_k^2$$\equiv \underset{k=3}{\sum ^8}{x}_k^2$$=3^2+3^2+2^2+1^2+3^2+0^2$$\equiv 0(mod4)$

Ta có :

$$\{\begin{array}{c}{y}_1=1,y_2=3\\ y_{n+2}\equiv \{\begin{array}{c}{y}_{n+1}-y_{n}khi2\mid n\\ -y_{n+1}khi2\nmid n\end{array}\\ \end{array}$$

Ta cũng lần lượt tính được :

$$y_2=2,y_3=3,y_4=1,y_5=4,y_6=3,y_7=2,y_8=4,y_9=1,y_{10}=2,y_{11}=3,...$$

Ta dự đoán và chứng minh bằng quy nạp được :

$$y_n=y_{n+8k},\forall n\ge 2,k\ge 1$$

Từ đó mà :

$\underset{k=1995}{\sum ^{2000}}{a}_k^2$$\equiv \underset{k=3}{\sum ^8}{y}_k^2$$=3^2+1^2+4^2+3^2+2^2+4^2$$\equiv 0(mod5)$

Từ đó có ngay điều phải chứng minh.

b) Từ trên ta có :

$$a_{2n+1}\equiv 2,3(mod4)$$

Suy ra $a_{2n+1}$ không chính phương với mọi $n$ nguyên dương.