Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=2,a_2=5\\ a_{n+2}=(2-n^2)a_{n+1}+(2+n^2)a_n,\forall n\ge 1\end{array}$$

Tồn tại hay không các số nguyên dương $p,q,r$ sao cho $a_p.a_q=a_r$

Lời giải :

Ta có $a_1\equiv a_2\equiv 2(mod3)$. Ta chứng minh bằng quy nạp rằng :

$$a_n\equiv 2(mod3),\forall n\ge 1(\ast )$$

Gỉa sử $a_k\equiv 2(mod3),\forall k=\overline{1,n+1}$

Khi đó ta có :

$$a_{n+2}\equiv 2(2-n^2)+2(2+n^2)=8\equiv 2(mod3)$$

Theo nguyên lí quy nạp ta có $(\ast )$. Từ đó với mọi số nguyên dương $p,q,r$ ta có :

$$a_p{a}_q\equiv 1(mod3),a_r\equiv 2(mod3)$$

Như vậy không tồn tại các số nguyên $p,q,r$ thỏa mãn đề bài.