Arithmetic Sequence

Bài toán : Gọi $\lambda$ là nghiệm dương của phương trình $t^2-2013t-1=0$. Xét dãy số $(x_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\lfloor \lambda x_n\rfloor ,\forall n\ge 1\end{array}$$

Tìm số dư của phép chia $x_{2013}$ cho $2013$.

Lời giải :

Ta có :

${\lambda }^2-2013\lambda -1$$=0$$\Rightarrow \lambda$$=2013+\frac{1}{\lambda }$$\Rightarrow \lambda x_n$$=2013x_n+\frac{\lambda }{x_n}$

Ta có :

$x_n$$=\lfloor \lambda x_{n-1}\rfloor$$\Rightarrow \lambda x_{n-1}-1$$<x_n$$<\lambda x_n$$\Rightarrow x_{n-1}-\frac{1}{\lambda }$$<\frac{x_n}{\lambda }$$<x_n$

Từ đó ta được ngay :

$\lfloor \frac{x_n}{\lambda }\rfloor$$=\lfloor x_{n-1}-\frac{1}{\lambda }\rfloor$$=x_{n-1}-1$

Do đó mà :

$x_{n+1}$$=\lfloor \lambda x_n\rfloor$$=\lfloor 2013x_n+\frac{x_n}{\lambda }\rfloor$$=2013x_n+\lfloor \frac{x_n}{\lambda }\rfloor$$=2013x_n+x_{n-1}-1$$\equiv x_{n-1}-1(mod2013)$

Do vậy ta có :

$$x_{2013}\equiv x_{2011}-1\equiv ...\equiv x_1-1006\equiv 1008(mod2013)$$