Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=9,u_1=161\\ u_n=18u_{n-1}-u_{n-2},\forall n\ge 2\end{array}$$

Chứng minh rằng $\frac{u_n^2-1}{5}$ là số chính phương với mọi $n$ tự nhiên.

Lời giải : 

Giải phương trình sai phân đề bài ta được :

$$u_n=\frac{(9+4\sqrt{5}{)}^{n+1}+(9-4\sqrt{5}{)}^{n+1}}{2}$$

Ta có các biểu diễn sau :

$$(9\pm 4\sqrt{5}{)}^{n+1}=A_{n+1}\pm B_{n+1}\sqrt{5}(A_{n+1},B_{n+1}\in \mathbb{Z})$$

Để ý ta có $(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})=1\Rightarrow A^2-5B^2=1$

Từ đó :

$\frac{u_n^2-1}{5}$$=\frac{{\left(\frac{A_{n+1}+B_{n+1}\sqrt{5}+A_{n+1}-B_{n+1}\sqrt{5}}{2}\right)}^2-1}{5}$$=\frac{A_{n+1}^2-1}{5}$$=B_n^2$

Là một số chính phương với mọi $n$ tự nhiên. Ta có điều phải chứng minh.