Geometry

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Hà Tĩnh 2013-2014)

Cho tam giác $ABC$, đường cao $A{A}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $H$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng $A{A}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cắt $AB,BC$ tại $P,Q$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc $AB$, đường thẳng qua $Q$ vuông góc $BC$ cắt nhau tại $R$. 

a) Chứng minh rằng $BR$ là phân giác góc $ABC$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Chứng minh $H,R,M$ thẳng hàng.

Lời giải :

a) Dễ dàng nhận ra rằng hai tam giác $C^{\prime }PH$ và $A^{\prime }QH$ đồng dạng nên :

$$\angle C^{\prime }PH=\angle A^{\prime }QH$$

Suy ra tam giác $BPQ$ cân tại $B$.

Suy ra hai góc $PRB,QRB$ bằng nhau vì chắn các cung $BP,BQ$ bằng nhau trong tứ giác nội tiếp $BQRP$.

Chú ý rằng hai góc $PRB,QRB$ lần lượt phụ nhau với $PBR,QBR$ nên $\angle PBR=\angle QBR$.

Do đó $BR$ là phân giác góc $ABC$.

b) Gọi $X,Y$ lần lượt là giao điểm của $PR$ và $A{A}^{\prime }$, $QR$ và $C{C}^{\prime }$. Gọi $S$ là giao điểm của $HR$ và $XY$.

Dễ thấy $XHYR$ là hình bình hành nên từ đó $S$ là trung điểm của $XY$  $(1)$

Bốn điểm $A,A^{\prime },C,C^{\prime }$ đồng viên nên :

$$\frac{H{C}^{\prime }}{HA}=\frac{H{A}^{\prime }}{HC}$$

Theo tính chất phân giác ta lần lượt có :

$$\frac{P{C}^{\prime }}{PA}=\frac{H{C}^{\prime }}{HA},\frac{Q{A}^{\prime }}{QC}=\frac{H{A}^{\prime }}{HC}$$

Suy ra ngay $\frac{P{C}^{\prime }}{PA}=\frac{Q{A}^{\prime }}{QC}$. Lại theo định lí Thales :

$$\frac{P{C}^{\prime }}{PA}=\frac{HX}{AX},\frac{Q{A}^{\prime }}{QC}=\frac{HY}{YC}$$

Từ đó ta suy ra :

$$\frac{HX}{XA}=\frac{HY}{YC}$$

Sử dụng định lí Thales đảo ta được $XY\parallel AC$   $(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra $HS$ hay $HR$ đi qua trung điểm $M$ của $AC$. Điều này chứng tỏ $H,R,M$ thẳng hàng.