Geometry

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2012)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp $(O)$ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N$ tương ứng là giao điểm các cặp đường thẳng $AB$ và $CD$, $AD$ và $BC$. Gọi $P,Q,S,T$ tương ứng là giao điểm các phân giác trong của các cặp góc $(MAN,MBN),(MBN,MCN),(MCN,MDN),(MDN),(MAN)$. Gỉa sử rằng bốn điểm $P,Q,S,T$ phân biệt.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $P,Q,S,T$ cùng thuộc một đường tròn. Gọi $I$ là tâm đường tròn này.

b) Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$. Chứng minh rằng $E,O,I$ thẳng hàng.

Lời giải :

a) Trong tam giác $QBC$ :

$\angle PQS$$=\angle BQC$$=180^0-\angle QBC-\angle QCB$$=180^0-\left(\angle ABQ+\angle ABC\right)-\frac{\angle C}{2}$$=180^0-\left(\frac{180^0-\angle B}{2}+\angle B\right)-\frac{\angle C}{2}$$=90^0-\frac{\angle B+\angle C}{2}$

Trong tam giác $TAD$ :

$\angle PTS$$=\angle ATD$$=180^0-\angle TAD-\angle TDA$$=180^0-\left(\angle MAT+\angle MAD\right)-\frac{\angle MDA}{2}$$=180^0-\left(\frac{\angle MAN}{2}+\angle C\right)-\frac{\angle B}{2}$$=180^0-\left(\frac{\angle A}{2}+\angle C\right)-\frac{\angle B}{2}$

Đẳng thức :

$180^0-\left(\frac{\angle A}{2}+\angle C\right)-\frac{\angle B}{2}$$=90^0-\frac{\angle B+\angle C}{2}$$\iff \angle A+\angle C$$=180^0$

Là một đẳng thức đúng. Do vậy mà $\angle PTS=\angle PQS$, điều này chứng tỏ bốn điểm $P,Q,S,T$ đồng viên.

b) Để ý rằng $P$ là tâm bàng tiếp góc $B$ tam giác $ABN$ nên $NP$ là phân giác ngoài của tam giác $ABN$.

Trong tam giác $APN$ ta có :

$\angle APN$$=180^0-\angle PAN-\angle ANP$$=180^0-\frac{1}{2}\angle MAN-\frac{1}{2}(180^0-\angle ANB)$$=90^0-\frac{\angle A}{2}-\frac{1}{2}\angle ANB$$=90^0-\frac{\angle A}{2}-\frac{1}{2}(180^0-\angle D-\angle C)$$=\frac{\angle D+\angle C-\angle A}{2}$

Lại có :

$$\angle SDA=\frac{\angle MDA}{2}=\frac{180^0-\angle D}{2}$$

Dễ dàng nhận thấy $\angle SDA=\angle APN$ nên bốn điểm $S,P,A,D$ đồng viên. Từ đó :

$$NP.NS=NA.ND\Rightarrow P_{N/(O)}=P_{N/(I)}$$

Vậy $N$ nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn $(I)$ và $(O)$.

Bằng những biến đổi góc tương tự ta được bốn điểm $Q,T,C,D$ đồng viên. Suy ra :

$$MQ.MT=MD.MC\Rightarrow P_{M/(I)}=P_{M/(O)}$$

Như vậy $MN$ là trục đẳng phương của $(I)$ và $(O)$ nên $MN\perp OI$.

Lại theo định lí Brocard ta có $O$ là trực tâm tam giác $EMN$ nên $OE\perp MN$. Từ đó có ngay $O,E,I$ thẳng hàng.