Number Theory

Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , luôn tồn tại một tập hợp $S$ gồm $n$ phần tử sao cho bất kì một tập con nào của $S$ cũng có tổng các phần tử là lũy thừa của một số tự nhiên.

Lời giải :

Gỉa sử rằng :

$S = {a_{1}, a_{2}, ..., a_{n - 1}, a_{n}}$

Ta chọn các số $a_{i}$ như sau :

$a_{1} = 1^{b_{1} + 1} 2^{b_{2}} 3^{b_{3}} ... k^{b_{k}}$

$a_{2} = 1^{b_{1}} 2^{b_{2} + 1} 3^{b_{3}} ... k^{b_{k}}$

$...$

$a_{i} = 1^{b_{1}} 2^{b_{2}} ... (i - 1)^{b_{i - 1}} . i^{b_{i} + 1} . (i + 1)^{b_{i + 1}} ... k^{b_{k}}$

$...$

$a_{n} = 1^{b_{1}} 2^{b_{2}} 3^{b_{3}} ... n^{b_{n} + 1} ... k^{b_{k}}$

Trong đó $k$ là số nguyên dương thỏa mãn $k > 1 + 2 + 3 + ... + n$ .

Gỉa sử $T = {a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, ... a_{i_{m}}} \subset S$ $(m < n)$ .

Khi đó ta có :

$a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + ... + a_{i_{m}} = 1^{b_{1}} 2^{b_{2}} ... i_{1}^{b_{i_{1}} + 1} ... k^{b_{k}} + 1^{b_{1}} 2^{b_{2}} ... i_{2}^{b_{i_{2}} + 1} ... k^{b_{k}} + ... + 1^{b_{1}} 2^{b_{2}} ... i_{m}^{b_{i_{m}} + 1} ... k^{b_{k}} = 1^{b_{1}} 2^{b_{2}} ... k^{b_{k}} (i_{1} + i_{2} + ... + i_{m}) = 1^{b_{1}} 2^{b_{2}} ... (i_{1} + i_{2} + ... + i_{m})^{b_{i_{1} + i_{2} + ... + i_{m}}} ... k^{b_{k}}$

Ta sẽ chọn ra $k$ số nguyên tố phân biệt $p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}$ thỏa mãn hệ sau :

$p_{1} ∣ b_{1} + 1, p_{1} ∣ b_{2}, b_{3}, ... b_{k}$

$p_{2} ∣ b_{2} + 1, p_{2} ∣ b_{1}, b_{3}, ... b_{k}$

$...$

$p_{k} ∣ b_{k} + 1, p_{k} ∣ b_{1}, b_{2}, ..., b_{k - 1}$ .

Hiển nhiên chọn được theo định lí phần dư Trung Hoa, khi đó dễ thấy :

$a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + ... + a_{i_{m}} = A^{p_{i_{1} + i_{2} + .. + i_{m}}}$

Là lũy thừa của một số tự nhiên. Trong đó :

$A = 1^{b_{1} / p_{i_{1} + i_{2} + .. + i_{m}}} . 2^{b_{2} / p_{i_{1} + i_{2} + ... + i_{m}}} .... (i_{1} + i_{2} + ... + i_{m})^{b_{i_{1} + i_{2} + ... + i_{m}} / p_{i_{1} + i_{2} + ... + i_{m}}} ... k^{b_{k} / p_{i_{1} + i_{2} + ... + i_{m}}}$

và hiển nhiên $A$ nguyên

Bài toán được giải quyết trọn vẹn.

Number Theory

Đề bài

Mô tả