1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho là các số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của đều có dạng . Lời giải : Gọi là ước nguyên tố của . Ta có : Từ đây suy ra chỉ có thể là : Nếu mà thì : Mâu thuẫn. Do vậy Bằng định lí Fermat nhỏ ta có […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2004) Tìm bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn phương trình : Lời giải : Từ phương trình ta được . Theo định lí Viete thì là hai nghiệm của phương trình : Để nghiệm của nguyên thì biệt thức phải là một số chính phương. Ta đặt: Nếu . Ta […]
Bài toán (Romania Team Selection Test 1998) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho : Lời giải : Ta có : Do đó kết hợp với điều kiện bài toán, ta suy ra : Với ta dễ dàng chỉ ra được điều mâu thuẫn. Ta chỉ xét . Khi đó không khó để thấy […]
Bài toán : Cho dãy số xác định như sau : Trong đó là tham số thực. a) Tìm sao cho dãy số đã cho hội tụ. b) Tìm sao cho là một dãy tăng kể từ số hạng nào đó. Lời giải : a) Ta xét dãy số như sau : Khi đó dễ […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO Thành phố Hồ Chí Minh 2013-2014) Cho dãy số thỏa mãn : Tìm : Lời giải : Ta có : Từ đó mà : Hơn nữa ta chứng minh được bằng quy nạp . Do đó mà : Tức dãy tăng. Nếu nó có giới hạn hữu hạn là […]
Bài toán (Vietnamses Mathematical Olympiad 2012) Cho dãy số thực xác định như sau : và : Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Ta có : Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng . Điều này đúng với , giả sử như vậy. […]
Bài toán : Gỉa sử rằng : Chứng minh rằng tồn tại và tính giới hạn này. Lời giải : Ta biến đổi như sau : Ta xét : Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp : Từ đó từ ta suy ra hay là dãy giảm. Hiển nhiên nó bị chặn dưới bởi nên […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Long An tỉnh Long An) Cho dãy số với : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Ta có : Ta chứng minh dãy giảm bằng quy nạp. Ta tính được . Gỉa sử […]
Bài toán : Cho là một số nguyên dương lớn hơn , là một số thực dương. Xét dãy số : Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tính giới hạn đó. Lời giải : Sử dụng bất đẳng thức AM-GM : Tức dãy bị chặn dưới. Tiếp theo ta chứng minh dãy này […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2012 THPT Chuyên Hoàng Lê Kha, Tây Ninh) Cho hai dãy số dương thỏa mãn : a) Chứng minh rằng b) Tìm các giới hạn của các dãy . Lời giải : a) Ta chứng minh bằng quy nạp, dễ thấy đúng với . Ta giả […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2011) Cho dãy số thực xác định bởi : và Với mỗi số nguyên dương , ta đặt . Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn. Lời giải : Ta có : Từ đó mà : Như vậy thì : Ta có : Từ đó là dãy tăng. Bài […]
DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN, DÃY SỐ SỐ HỌC [Mọi người click vào số thứ tự bài để xem đáp án nha] Bài 1 Cho : Chứng minh rằng Bài 2 Tìm biết Bài 3 Cho dãy Tính . Bài 4 Cho dãy xác định bởi a) Xác định số hạng tổng […]
Bài toán (AoPS) Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : Do vậy mà ta chỉ cần chứng minh : Điều này là hiển nhiên theo AM-GM : Ta được điều phải chứng minh.
Bài toán (AoPS) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được : Và ta chỉ cần chứng tỏ rằng : Vì nên và Từ đó mà : Ta được điều phải chứng minh.
Bài toán : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : . Lời giải : Xét , ta được cặp . Xét , kéo theo . Ta sẽ chứng minh trong trường hợp này phương trình không còn nghiệm nguyên dương nào nữa. Viết phương trình dưới dạng : Ta có : Lúc này : […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai) Cho các số dương . Xét ba dãy số sao cho : và với mọi số tự nhiên thì : Chứng minh rằng ba dãy số nói trên có giới hạn hữu hạn và ba giới hạn đó bằng […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Bắc Ninh năm 2013-2014) Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng dãy không có giới hạn hữu hạn. Lời giải : Gỉa sử có giới hạn hữu hạn là , chuyển qua giới hạn : Khi đó dãy cũng sẽ có giới hạn là […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 11 năm 2011) Cho dãy số xác định bởi : Tính Lời giải : Ta có : Suy ra : Ta được : Từ đó mà :
Bài toán (Iran Team Selection Test 2008) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Áp dụng BĐT Minkowski : Cần chứng minh : Hiển nhiên đúng vì đây là BĐT Schur bậc ba. Điều phải chứng minh.
Bài toán (Kiểm tra trường Đông toán học miền Nam 2013-2014) Cho tam giác nhọn, đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp . là trung điểm của đường cao . tiếp xúc với tại . Đường thẳng cắt ở . Đường thẳng tiếp xúc với tại . a) Gọi là tâm bàng tiếp góc của […]