Bài toán (AoPS) Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức : \[\dfrac{2ab+bc+ca}{ab(a^2+ab+b^2)}+\dfrac{ab+2bc+ca}{bc(b^2+bc+c^2)}+\dfrac{ab+bc+2ca}{ca(c^2+ca+a^2)}\geq \dfrac{12}{a^2+b^2+c^2}\] Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : \[VT\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{(2ab+bc+ca)(ab+2bc+ca)(ab+bc+2ca)}{a^2b^2c^2(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{64.\sqrt[4]{a^3b^3c^2}.\sqrt[4]{a^2b^3c^3}.\sqrt[4]{a^3b^2c^3}}{a^2b^2c^2(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}}\] \[=\dfrac{12}{\sqrt[3]{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}}\] Do vậy mà ta chỉ cần chứng minh : \[(a^2+b^2+c^2)^3\geq (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\] Điều này là hiển nhiên theo AM-GM : \[(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\leq \dfrac{1}{27}(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca)^3\leq (a^2+b^2+c^2)^3\] Ta được điều phải chứng minh.

Inequality

Bài toán (AoPS)

Cho các số dương $a, b, c$ . Chứng minh bất đẳng thức :

$\frac{2 ab + b c + c a}{ab ( a ^{2} + ab + b ^{2} )} + \frac{ab + 2 b c + c a}{b c ( b ^{2} + b c + c ^{2} )} + \frac{ab + b c + 2 c a}{c a ( c ^{2} + c a + a ^{2} )} \geq \frac{12}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Lời giải :

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :

$V T \geq 3 3 \frac{( 2 ab + b c + c a ) ( ab + 2 b c + c a ) ( ab + b c + 2 c a )}{a ^{2} b ^{2} c ^{2} ( a ^{2} + ab + b ^{2} ) ( b ^{2} + b c + c ^{2} ) ( c ^{2} + c a + a ^{2} )} \geq 3 3 \frac{64. 4 a ^{3} b ^{3} c ^{2} . 4 a ^{2} b ^{3} c ^{3} . 4 a ^{3} b ^{2} c ^{3}}{a ^{2} b ^{2} c ^{2} ( a ^{2} + ab + b ^{2} ) ( b ^{2} + b c + c ^{2} ) ( c ^{2} + c a + a ^{2} )}$

$= \frac{12}{3 ( a ^{2} + ab + b ^{2} ) ( b ^{2} + b c + c ^{2} ) ( c ^{2} + c a + a ^{2} )}$

Do vậy mà ta chỉ cần chứng minh :

$(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{3} \geq (a^{2} + ab + b^{2}) (b^{2} + b c + c^{2}) (c^{2} + c a + a^{2})$

Điều này là hiển nhiên theo AM-GM :

$(a^{2} + ab + b^{2}) (b^{2} + b c + c^{2}) (c^{2} + c a + a^{2}) \leq \frac{1}{27} (2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} + ab + b c + c a)^{3} \leq (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{3}$

Ta được điều phải chứng minh.

Inequality

Đề bài

Mô tả