Sequence – Limit

Bài toán : Cho $p$ là một số nguyên dương lớn hơn $1$, $a$ là một số thực dương. Xét dãy số $(x_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1>0\\ x_{n+1}=\frac{1}{p}\left((p-1)x_n+\frac{a}{x_n^p}\right),\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tính giới hạn đó. 

Lời giải :

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM :

$x_{n+1}$$=\frac{1}{p}\left(\underset{p-1}{\underbrace{x_n+x_n+...+x_n}}+\frac{a}{x^p}\right)$$\ge \sqrt[p]{a}$

Tức dãy $(x_n)$ bị chặn dưới. Tiếp theo ta chứng minh dãy này giảm nghiêm ngặt.

Thật vậy, ta có :

$\frac{x_{n+1}}{x_n}$$=\frac{1}{p}.\frac{(p-1)x_n^p+a}{x_n^p}$$\le \frac{1}{p}\left(p-1+\frac{a}{{\left(\sqrt[p]{a}\right)}^p}\right)$$=1$$\Rightarrow x_{n+1}$$\le x_n$

Như vậy dãy $(x_n)$ sẽ có giới hạn hữu hạn là $L$. Chuyển qua giới hạn :

$$pL=(p-1)L+\frac{a}{L^{p-1}}\Rightarrow L=\sqrt[p]{a}$$

Như vậy :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=\sqrt[p]{a}$$