Inequality

Bài toán (Iran Team Selection Test 2008)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\ge 2\sqrt{a+b+c}$$

Lời giải :

Áp dụng BĐT Minkowski :

$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}$$=\sum _{sym}\sqrt{a^3+a(ab+bc+ca)}$$=\sum _{sym}\sqrt{a^2(a+b+c)+abc}$$\ge \sqrt{{\left(\sum _{sym}a\sqrt{a+b+c}\right)}^2+{\left(3\sqrt{abc}\right)}^2}$$=\sqrt{(a+b+c{)}^3+9abc}$

Cần chứng minh :

$(a+b+c{)}^3+9abc$$\ge 4(a+b+c)$$=4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$\iff a^3+b^3+c^3+3abc$$\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Hiển nhiên đúng vì đây là BĐT Schur bậc ba. Điều phải chứng minh.