Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai) Cho các số dương $a,b,c$. Xét ba dãy số $(u_n),(v_n),(w_n)$ sao cho : \[u_0=a,v_0=b,w_0=c\] và với mọi số tự nhiên \[n\] thì : \[u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n+w_n}{3},v_{n+1}=\sqrt[3]{u_nv_nw_n},w_{n+1}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{u_n}+\dfrac{1}{v_n}+\dfrac{1}{w_n}}\] Chứng minh rằng ba dãy số nói trên có giới hạn hữu hạn và ba giới hạn đó bằng nhau. Lời giải : Ta có bất đẳng thức kép sau : \[\dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}\geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\] Từ đó mà dễ dàng thấy được : \[u_{n}\geq v_n\geq w_n,\;\forall n\in \mathbb{N}^*\] Từ đó ta thấy : \[u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n+w_n}{3}\leq u_n\] \[w_{n+1}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{u_n}+\dfrac{1}{v_n}+\dfrac{1}{w_n}}\geq w_n\] Để ý rằng ta có : \[w_1\leq w_1\leq ...\leq w_n\leq w_{n+1}\leq u_{n+1}\leq u_n\leq ...\leq u_1\] Như vậy dãy $(u_n)$ giảm và bị chặn dưới, dãy $(w_n)$ tăng và bị chặn trên nên cả hai đều có giới hạn hữu hạn. Từ đó suy ra ngay $(v_n)$ cũng có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn lần lượt của ba dãy là $U,V,W$. Chuyển qua giới hạn ta được hệ : \[\left\{\begin{matrix} U=(U+V+W)/3\\ V=\sqrt[3]{UVW}\\ W=\dfrac{3}{1/U+1/V+1/W} \end{matrix}\right.\Rightarrow U=V=W\] Ta được điều phải chứng minh

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai)

Cho các số dương $a, b, c$ . Xét ba dãy số $(u_{n}), (v_{n}), (w_{n})$ sao cho :

$u_{0} = a, v_{0} = b, w_{0} = c$ và với mọi số tự nhiên $n$ thì :

$u_{n + 1} = \frac{u _{n} + v _{n} + w _{n}}{3}, v_{n + 1} = 3 u_{n} v_{n} w_{n}, w_{n + 1} = \frac{3}{\frac{1}{u _{n}} + \frac{1}{v _{n}} + \frac{1}{w _{n}}}$

Chứng minh rằng ba dãy số nói trên có giới hạn hữu hạn và ba giới hạn đó bằng nhau.

Lời giải :

Ta có bất đẳng thức kép sau :

$\frac{x + y + z}{3} \geq 3 x y z \geq \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}$

Từ đó mà dễ dàng thấy được :

$u_{n} \geq v_{n} \geq w_{n}, \forall n \in N^{*}$

Từ đó ta thấy :

$u_{n + 1} = \frac{u _{n} + v _{n} + w _{n}}{3} \leq u_{n}$

$w_{n + 1} = \frac{3}{\frac{1}{u _{n}} + \frac{1}{v _{n}} + \frac{1}{w _{n}}} \geq w_{n}$

Để ý rằng ta có :

$w_{1} \leq w_{1} \leq ... \leq w_{n} \leq w_{n + 1} \leq u_{n + 1} \leq u_{n} \leq ... \leq u_{1}$

Như vậy dãy $(u_{n})$ giảm và bị chặn dưới, dãy $(w_{n})$ tăng và bị chặn trên nên cả hai đều có giới hạn hữu hạn.

Từ đó suy ra ngay $(v_{n})$ cũng có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn lần lượt của ba dãy là $U, V, W$ . Chuyển qua giới hạn ta được hệ :

$⎩ ⎨ ⎧ U = (U + V + W) /3 V = 3 U V W W = \frac{3}{1/ U + 1/ V + 1/ W} \Rightarrow U = V = W$

Ta được điều phải chứng minh

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả