Sequence – Limit

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2012 THPT Chuyên Hoàng Lê Kha, Tây Ninh)

Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=y_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ x_{n+1}=\frac{x_n}{4y_{n+1}^2-1}\\ y_{n+1}=\frac{y_n}{1-4x_{n+1}^2}\end{array},\forall n=1,2,3,...$$

a) Chứng minh rằng $x_n^2+y_n^2=1,\forall n=1,2,\mathrm{3...}$

b) Tìm các giới hạn của các dãy $(x_n),(y_n)$.

Lời giải :

a) Ta chứng minh bằng quy nạp, dễ thấy đúng với $n=1$. Ta giả sử :

$$x_{n-1}^2+y_{n-1}^2=1$$

Từ hệ thức truy hồi đề bài, ta được :

$x_n^2(4y_n^2-1{)}^2+y_n^2(1-4x_n^2{)}^2$$=1$$\iff (16x_n^2{y}_n^2+1)(x_n^2+y_n^2-1)$$=0$$\iff x_n^2+y_n^2$$=1$

b) Từ kết quả câu a, ta đặt :

$x_n$$=sin{\alpha }_n,y_n$$=cos{\alpha }_n\left({\alpha }_n\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\forall n=1,2,\mathrm{3...}\right)$

Từ đó :

$sin{\alpha }_{n+1}$$=\frac{sin{\alpha }_n}{4(1-si{n}^2{\alpha }_{n+1})-1}$$\iff 3sin{\alpha }_{n+1}-4si{n}^3{\alpha }_{n+1}$$=sin{\alpha }_n$$\iff sin(3{\alpha }_{n+1})$$=sin{\alpha }_n$$\iff {\alpha }_{n+1}$$=\frac{1}{3}{\alpha }_n$

Như vậy dãy $\left({\alpha }_n\right)$ là cấp số nhân công bội $1/3$, số hạng đầu ${\alpha }_1=\frac{\pi }{4}$ :

$${\alpha }_n=\frac{\pi }{4.3^{n-1}}$$

Từ đó ta tìm được :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=\underset{n-1}{\lim }\sin \frac{\pi }{4.3^{n-1}}=0$$

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=\underset{n-1}{\lim }\cos \frac{\pi }{4.3^{n-1}}=1$$