Number Theory

Bài toán : Cho $a,n,k$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của $a^{2.6^n}-a^{6^n}+1$ đều có dạng $6^{n+1}.k+1$.

Lời giải :

Gọi $p$ là ước nguyên tố của $a^{2.6^n}-a^{6^n}+1$. Ta có :

$a^{2.6^n}-a^{6^n}+1$$\equiv 0(modp)$$\Rightarrow a^{6^n}-a^{2.6^n}$$\equiv 1(modp)$$\Rightarrow a^{6^n}(1-a^{6^n})$$\equiv 1(modp)$$\Rightarrow -a^{2.6^n}.a^{6^n}$$\equiv 1(modp)$$\Rightarrow a^{6^{n+1}}$$\equiv 1(modp)$$\Rightarrow or{d}_p(a)\mid 6^{n+1}$

Từ đây suy ra chỉ có thể là :

$$or{d}_p(a)\in \left\{2^k,3^k,6^k,2^q.3^t\right\},\forall k=\overline{1,n+1}$$

Nếu mà $or{d}_p(a)\in \left\{2^k,3^k,6^t,2^q.3^t\right\},\forall k,q,t=\overline{1,n+1},\forall t=\overline{1,n}$   thì :

$$a^{2.6^n}-a^{6^n}+1\equiv 1(modp)$$

Mâu thuẫn. Do vậy $or{d}_p(a)=6^{n+1}$

Bằng định lí Fermat nhỏ ta có ngay :

$$6^{n+1}=or{d}_p(a)\mid p-1$$

Điều phải chứng minh.