Các bài toán về dãy số nguyên, dãy số số học

DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN, DÃY SỐ SỐ HỌC

[Mọi người click vào số thứ tự bài để xem đáp án nha]

Bài 1 Cho $(u_n)$ : 

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=u_1=u_2=1\\ u_{n+3}.u_n-u_{n+1}{u}_{n+2}=n!\end{array}$$

Chứng minh rằng $u_n\in \mathbb{Z},\forall n$

Bài 2 Tìm $u_n$ biết $(u_n):1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...$

Bài 3 Cho dãy $(u_n)$

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=u_2=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{u_{n-1}}\end{array}$$

Tính $u_n$.

Bài 4 Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi 

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\frac{x_n}{2+\sqrt{3+x_n^2}}\end{array}$$

a) Xác định số hạng tổng quát của $(x_n)$.

b) Chứng minh rằng số $\frac{x_n^2}{x_{2n}^2}-2$ có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi số nguyên dương $n$.

Bài 5 Cho hai dãy số $(x_n),(y_n)$ thỏa mãn $x_1=1,y_1=1$ và :

$$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=-3x_n^2-2x_n{y}_n+8y_n^2\\ y_{n+1}=2x_n^2+3x_n{y}_n-2y_n^2\end{array}$$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $x_p+y_p$ không chia hết cho $p$.

Bài 6 Cho dãy $(a_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0=2\\ a_{n+1}=4a_n+\sqrt{15a_n^2-60},\forall n\ge 1\end{array}$$

Hãy xác định công thức tổng quát của dãy và chứng minh rằng số $\frac{1}{5}(a_{2n}+8)$ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp.

Bài 7 Xét dãy số $(u_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ u_n=3u_{n-1}+2n^3-9n^2+9n-3,\forall n\ge 2\end{array}$$

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $p$ thì tổng $2000(u_1+u_2+...+u_{p-1})$ chia hết cho $p$.

Bài 8 Cho dãy số thực $(a_n)$ được xác định bởi $a_0=1,a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{3a_n}\right)$ với mọi $n=1,2,\mathrm{3...}$.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, số $A_n=\frac{3}{3a_n^2-1}$ là một số chính phương và nó có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt.

Bài 9 Cho hai dãy số $(a_n),(b_n)$ được xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0=3,b_0=-3\\ a_n=3a_{n-1}+2b_{n-1}\\ b_n=4a_{n-1}+3b_{n-1}\end{array},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để tích $(b_0^2+9)(b_1^2+9)...(b_n^2+9)$ là một số chính phương.

Bài 10 Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=2,a_2=5\\ a_{n+2}=(2-n^2)a_{n+1}+(2+n^2)a_n,\forall n\ge 1\end{array}$$

Tồn tại hay không các số nguyên dương $p,q,r$ sao cho $a_p.a_q=a_r$

Bài 11 Gọi $\lambda$ là nghiệm dương của phương trình $t^2-2013t-1=0$. Xét dãy số $(x_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\lfloor \lambda x_n\rfloor ,\forall n\ge 1\end{array}$$

Tìm số dư của phép chia $x_{2013}$ cho $2013$.

Bài 12 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=9,u_1=161\\ u_n=18u_{n-1}-u_{n-2},\forall n\ge 2\end{array}$$

Chứng minh rằng $\frac{u_n^2-1}{5}$ là số chính phương với mọi $n$ tự nhiên.

Bài 13 Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_0=1,a_1=3$ và :

$$a_{n+2}=\{\begin{array}{c}{a}_{n+1}+9a_{n}khi2\mid n\\ 9a_{n+1}+5a_{n}khi2\nmid n\end{array}$$

a) Chứng minh rằng $20\mid a_{1995}^2+a_{1996}^2+a_{1997}^2+a_{1998}^2+a_{1999}^2+a_{2000}^2$

b) Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $a_{2n+1}$ không là số chính phương.

Bài 14 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=20,u_1=100\\ u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}+20,\forall n\ge 1\end{array}$$

Tìm số nguyên dương $h$ bé nhất thỏa mãn :

$$1998\mid u_{n+h}-u_n$$

với mọi số nguyên dương $n$.

Bài 15 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=1,u_1=-1\\ u_n=6u_{n-1}+5u_{n-2},\forall n=2,3,...\end{array}$$

Chứng minh rằng $2011\mid u_{2012}-2010$

Bài 16 Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=u_1=1\\ u_{n+1}=14u_n-u_{n-1},\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $2u_n-1$ là một số chính phương.

Bài 17 Cho dãy số nguyên $(u_n)$ : $u_1=2,u_2=7$ và :

$$\frac{-1}{2}<u_n-\frac{u_{n-1}^2}{u_{n-2}}\le \frac{1}{2}$$

Chứng minh rằng $u_n$ là số lẻ với mọi số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$.

Bài 18 Cho dãy số $(a_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0=1,a_1=45\\ a_{n+2}=45a_{n+1}-7a_n\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $1997a_n^2+4.7^{n+1}$ luôn là một số chính phương.

Bài 19 Cho dãy $(u_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=1,u_2=2\\ u_{n+2}=3u_{n+1}+u_n,\forall n\ge 1\end{array}$$

Với mỗi số nguyên dương $n$ ta gọi $r_n$ là số dư khi chia $u_n$ cho $2013$. Chứng minh rằng dãy $(r_n)$ là dãy tuần hoàn.

Bài 20 Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=38,u_2=161\\ u_{n+2}=4u_{n+1}+u_n,\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, luôn tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $u_n-1$ và $u_{n+1}-2$ đều chia hết cho $m$.

Bài 21 Xét dãy số $(u_n)$ : $u_n=\lfloor n\sqrt{2}\rfloor ,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Chứng minh rằng dãy số đã cho có vô số số hạng là một số chính phương.

Bài 22 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=20,x_2=30\\ x_{n+1}=3x_n-x_{n-1},\forall n\ge 2\end{array}$$

Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $5x_n{x}_{n+1}+1$ là số chính phương. 

Bài 23 Cho dãy các số nguyên dương $(a_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0,a_1,a_2\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ a_n=a_{n-1}^2+a_{n-2}^2+a_{n-3}^2,\forall n\ge 3\end{array}$$

Chứng minh rằng nếu $a_k=1997$ thì $k\le 3$.

Bài 24 Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=1,u_1=3\\ u_{n+2}=1+\lfloor \frac{u_{n+1}^2}{u_n}\rfloor ,\forall n\ge 0\end{array}$$

Chứng minh rằng :

$$u_{n+2}{u}_n-u_{n+1}^2=2^n,\forall n\in \mathbb{N}$$

Bài 25 Cho dãy số $(u_n)$ : 

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=1,u_2=9\\ u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^2+8}{u_n},\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng $6u_n^2-2$ là một số chính phương.

Bài 26 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=630,x_2=102\\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_n+2\sqrt{x_n{x}_{n+1}-2},\forall n\ge 1\end{array}$$

a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên dương.

b) Chứng minh có vô số số nguyên dương $n$ sao cho $x_n$ có bốn chữ số tận cùng là $2003$.

b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $x_n$ có bốn chữ số tận cùng là $2004$.

Bài 27 Cho dãy số $(a_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=1\\ a_{n+1}=\frac{a_n}{n}+\frac{n}{a_n},\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi $n\ge 4$ thì $\lfloor a_n^2\rfloor =n$.

Bài 28 Cho hai dãy $(x_n),(y_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=1,x_1=4,x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n\\ y_0=1,y_1=2,y_{n+2}=3y_{n+1}-y_n\end{array}$$

a) Chứng minh rằng : $x_n^2-5y_n^2+4=0,\forall n\in \mathbb{N}$

b) Gỉa sử $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^2-5b^2+4=0$. Chứng minh rằng tồn tại số $k$ sao cho $x_k=a,y_k=b$.

Bài 29 Cho dãy số $(a_n)$ được xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{5}{2}\\ a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+6a_n-3,\forall n\ge 1\end{array}$$

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $\lfloor a_n\rfloor +1$ chia hết cho $3^{2011}$.

Bài 30 Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=1964,a_2=96\\ a_{n+2}=30a_{n+1}^2-75a_{n+1}{a}_n-1944a_n(n\ge 1)\end{array}$$

Chứng minh rằng không có một số hạng nào của dãy biểu diễn được dưới dạng tổng của ba lũy thừa bậc bảy của ba số nguyên.

Bài 31 Cho dãy $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=51,x_2=53\\ x_{n+2}=\frac{x_{n+1}^2+49.2^n}{x_n}\end{array}$$

Tìm số nguyên dương $n$ sao cho các số $x_n$ và $x_{n+1}$ đều là tích của hai số nguyên tố phân biệt và hiệu của hai số nguyên tố trong mỗi tích đó là bằng nhau.

Bài 32 Cho dãy số thực $(a_n)$ thỏa mãn :

$$a_1\in \left(1,2\right)$$ và $$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_n},\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp $(a_i,a_j)$ với $i\ne j$ sao cho $a_i+a_j$ là một số nguyên.

Bài 33 (Định lí về cấu trúc nghiệm của phương trình Pell loại 1)

Cho $d$ là số nguyên dương không chính phương. Xét phương trình $x^2-d{y}^2=1(1)$. Gỉa sử $(a,b)$ là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (nghiệm cơ sở) của $(1)$. Xét hai dãy số $(x_n),(y_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=a,y_1=b\\ x_{n+1}=a{x}_n+db{y}_n\\ y_{n+1}=b{x}_n+a{y}_n\end{array}$$

Chứng minh rằng $(x,y)$ là một nghiệm của $(1)$ khi và chỉ khi tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $x=x_n,y=y_n$.

Bài 34 Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0=0,a_1=1\\ a_{n+2}=2014a_{n+1}-a_n,\forall n\ge 0\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi $n\ge 2$ thì $a_n$ là hợp số.

Bài 35 Xét các số tự nhiên lẻ $a,b$ mà $a\mid b^2+2$ và $b\mid a^2+2$. Chứng minh rằng $a,b$ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n)$ được xác định bởi :

$$v_1=v_2=1$$ và $$v_n=4v_{n-1}-v_{n-2},\forall n\ge 2$$

Bài 36 Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi :

$$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\lfloor \sqrt{a_n}\rfloor$$

Chứng minh rằng $a_n$ là số chính phương khi và chỉ khi $n=2^k+k-2$ với $k$ là số tự nhiên.

Bài 37 Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$$a_1=1,a_2=2,a_3=24$$ và $$a_n=\frac{6a_{n-1}^2{a}_{n-3}-8a_{n-1}{a}_{n-2}^2}{a_{n-2}{a}_{n-3}}(n\ge 4)$$

Chứng minh rằng $a_n$ là một số nguyên và $n\mid a_n$ với mọi số tự nhiên $n$.

Bài 38 Cho dãy số $(K_n)$ xác định bởi :

$$K_1=2,K_2=8,K_{n+2}=3K_{n+1}-K_n+5.(-1{)}^n$$

Chứng minh rằng nếu $K_n$ nguyên tố thì $n$ phải là một lũy thừa của $3$.

Bài 39 Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi :

$$a_0=0,a_1=1,a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$$.

Chứng minh rằng $2^k\mid a_n$ khi và chỉ khi $2^k\mid n$.

Bài 40 Cho dãy số nguyên $(u_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=1990,u_2=1989,u_3=2000\\ u_{n+3}=19u_{n+2}+9u_{n+1}+u_n+1991,\forall n\ge 1\end{array}$$

1) Với mỗi $n$, gọi $r_n$ là số dư khi chia $u_n$ cho $1992$. Chứng minh rằng dãy $(r_n)$ là dãy tuần hoàn.

2) Chứng minh rằng tồn tại vô số số $x$ của dãy $(u_n)$ sao cho :

$$1992\mid 5x^{1992}+4x^{1975}+5x^{1954}+8x^{1945}+2x^{1930}+11x^2+48$$

Bài 41 Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và xét dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1=1,x_2=p$ và :

$$x_{n+2}=2p{x}_{n+1}-x_n$$

Chứng minh rằng $\frac{x_{2m}+1}{p+1}$ là một số chính phương với mọi số nguyên dương $m$.

Bài 42 Cho hai dãy số $(x_n)$ và $(y_n)$ xác định bởi :

$$x_1=365,x_{n+1}=x_n(x_n^{1986}+1)+1622$$

và

$$y_1=16,y_{n+1}=y_n(y_n^3+1)-1952$$

Chứng minh rằng $\left|x_n-y_k\right|\ne 0,\forall n,k\in {\mathbb{Z}}^{+}$

Bài 43 Xét dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_0=4,a_1=22$ và :

$$a_n-6a_{n-1}+a_{n-2}=0$$ với mọi $$n\ge 2$$.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại hai dãy $(x_n),(y_n)$ sao cho :

$$a_n=\frac{y_n^2+7}{x_n-y_n}$$

Bài 44 Cho dãy số xác định bởi $P_0=3,P_1=0,P_2=2$ và :

$$P_n=P_{n-2}+P_{n-3},n\ge 3$$.

Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $p\mid x_p$.

(Dãy số xác định như trên được gọi là Dãy Perrin)

Bài 45 Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$$a_1=0,a_{n+1}=\frac{n^3(4n+2)}{(n+1{)}^4}{a}_n+\frac{3n+1}{(n+1{)}^4},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

a) Chứng minh rằng $a_n=\frac{C_{2n}^n-2}{2n^3}$.

b) (Chọn đội tuyển HSG THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội 2010)

Chứng minh rằng dãy trên chứa vô hạn các số hạng nguyên dương.

Bài 46 Cho dãy số $(u_n)$ nguyên thỏa mãn $u_{n+2}=u_{n+1}^2-u_n$ với mọi $n$ tự nhiên.Gỉa sử $u_0=39,u_1=45$. Chứng minh có vô hạn số hạng của dãy $(u_n)$ chia hết cho $1986$.

Bài 47 Xét phương trình $x^2+y^2+1=kxy$.

a) Tìm tất cả các số $k$ nguyên dương sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên dương $(x,y)$.

b) Với các giá trị $k$ tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.

Bài 48 Tìm giá trị lớn nhất của $m^2+n^2$ trong đó $m,n$ là các số nguyên thỏa mãn $1\le m,n\le 1981$ và

$$(n^2-mn-m^2{)}^2=1$$.

Bài 49 Xét dãy số $(a_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0=0,a_1=1,a_2=2,a_3=6\\ a_{n+4}=2a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n\end{array}$$

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $n\mid a_n$.

b) Chứng minh rằng với $k$ là số nguyên dương bất kỳ thì dãy $\frac{a_1}{1},\frac{a_2}{2},\frac{a_3}{3},...,\frac{a_n}{n}$ chứa vô hạn các số hạng chia hết cho $k$.

Bài 50 Cho $k$ là một số nguyên dương cố định. Xét dãy $(a_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=k+1\\ a_{n+1}=a_n^2-k{a}_n+k,\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ khác $n$ thì $a_m,a_n$ nguyên tố cùng nhau.