Bài toán (Romania Team Selection Test 1998) Tìm tất cả các số nguyên dương $(x,n)$ sao cho : \[x^n+2^n+1\mid x^{n+1}+2^{n+1}+1\] Lời giải : Ta có : \[x^{n+1}+2^{n+1}+1=x(x^n+2^n+1)-2^n.x+1-x+2^{n+1}\] Do đó kết hợp với điều kiện bài toán, ta suy ra : \[x^n+2^n+1\mid 2^{n+1}-2^nx+1-x\] Với $x=1,x=2$ ta dễ dàng chỉ ra được điều mâu thuẫn. Ta chỉ xét $x\geq 3$. Khi đó không khó để thấy : \[2^{n+1}-2^nx+1-x< 0\] Từ đó mà : \[2^nx-2^{n+1}+x-1=\left | 2^{n+1}-2^n.x+1-x \right |\geq x^n+2^n+1\] Thu gọn thành : \[(2^n+1)x\geq x^n+2^{n+1}+2^n+2\;\;\;(*)\] Trước hết ta xét $n\geq 3$. Khi đó dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp : \[x^n\geq x(2^n+1)\Rightarrow x^n+2^{n+1}+2^n+2> x(2^n+1)\] Mâu thuẫn với kết quả đã thu được ở trên. Do vậy phải có $n\leq 2$. Nếu $n=2$ thì từ $(*)$ có $5x\geq x^2+14$, không tồn tại $x$. Nếu $n=1$ thay vào giả thiết ban đầu : \[x+3\mid x^2+5\Rightarrow x\in \left \{ 4,11 \right \}\] Đáp số bài toán là : Có duy nhất hai bộ số thỏa mãn đề bài là $(x,n)=(4,1),(11,1)$

Number Theory

Bài toán (Romania Team Selection Test 1998)

Tìm tất cả các số nguyên dương $(x, n)$ sao cho :

$x^{n} + 2^{n} + 1 ∣ x^{n + 1} + 2^{n + 1} + 1$

Lời giải :

Ta có :

$x^{n + 1} + 2^{n + 1} + 1 = x (x^{n} + 2^{n} + 1) - 2^{n} . x + 1 - x + 2^{n + 1}$

Do đó kết hợp với điều kiện bài toán, ta suy ra :

$x^{n} + 2^{n} + 1 ∣ 2^{n + 1} - 2^{n} x + 1 - x$

Với $x = 1, x = 2$ ta dễ dàng chỉ ra được điều mâu thuẫn. Ta chỉ xét $x \geq 3$ . Khi đó không khó để thấy :

$2^{n + 1} - 2^{n} x + 1 - x < 0$

Từ đó mà :

$2^{n} x - 2^{n + 1} + x - 1 = 2^{n + 1} - 2^{n} . x + 1 - x \geq x^{n} + 2^{n} + 1$

Thu gọn thành :

$(2^{n} + 1) x \geq x^{n} + 2^{n + 1} + 2^{n} + 2 (*)$

Trước hết ta xét $n \geq 3$ . Khi đó dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp :

$x^{n} \geq x (2^{n} + 1) \Rightarrow x^{n} + 2^{n + 1} + 2^{n} + 2 > x (2^{n} + 1)$

Mâu thuẫn với kết quả đã thu được ở trên. Do vậy phải có $n \leq 2$ .

Nếu $n = 2$ thì từ $(*)$ có $5 x \geq x^{2} + 14$ , không tồn tại $x$ .

Nếu $n = 1$ thay vào giả thiết ban đầu :

$x + 3 ∣ x^{2} + 5 \Rightarrow x \in {4, 11}$

Đáp số bài toán là :

Có duy nhất hai bộ số thỏa mãn đề bài là $(x, n) = (4, 1), (11, 1)$