Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2004) Tìm bộ ba các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn phương trình : \[(x+y)(1+xy)=2^z\] Lời giải : Từ phương trình ta được $\left\{\begin{matrix} x+y=2^a\\ 1+xy=2^b \end{matrix}\right.(a,b\in \mathbb{N}^*)$. Theo định lí Viete thì $x,y$ là hai nghiệm của phương trình : \[X^2-2^a.X+2^b-1=0\;\;\;(*)\] Để nghiệm của $(*)$ nguyên thì biệt thức $\Delta '=2^{2a-2}-2^b+1$ phải là một số chính phương. Ta đặt: \[2^{2a-2}-2^b+1=k^2\;\;(k\in \mathbb{N})\;\;(**)\] Nếu $2^{b}\geq 2^{2a-2}$. Ta cũng có $2^{2a}=(x+y)^2\geq 4xy=4(2^b-1)\Rightarrow 2^{2a}+1\geq 2^b$. Như vậy thì $2^{2a-2}\leq 2^{b}\leq 2^{2a-2}+1$. Khi $2^{b}=2^{2a-2}$ thì $k=1$. Khi ấy $(*)$ có nghiệm $X=2^{a-1}\pm 1$. Từ đó $(x,y)=(2^{a-1}-1,2^{a-1}+1),(2^{a-1}+1,2^{a-1}-1)$. Thế vào phương trình ban đầu tìm được $z=3a-2$. Khi $2^{b}=2^{2a-2}+1$, không mấy khó khăn ta tìm được $(a,b)=(1,1)$. Từ đó thu được bộ $(x,y,z)=(1,1,2)$. Nếu $2^{b}< 2^{2a-2}$ thì viết $(**)$ dưới dạng : \[2^b(2^{2a-b-2}-1)=(k-1)(k+1)\] Trường hợp $a=1$ hoặc $b=1$ đơn giản, cũng cho bộ $(x,y,z)=(1,1,2)$. Ta chỉ xét $a,b>1$. Khi đó dễ thấy $k$ lẻ, từ đó kéo theo $\gcd(k-1,k+1)=2$. Suy ra trong hai số $k-1,k+1$ sẽ có một số chia hết cho $2^{b-1}$. Ta giả sử : \[k=2^{b-1}m+\epsilon \;\;(\epsilon =\pm 1)\] Thay ngược vào $(**)$ : \[2^b(2^{2a-b-2}-1)=k^2-1=2^{2b-2}m^2+2^bm\epsilon \Rightarrow 2^{2a-b-2}-1=2^{b-2}m^2+m\epsilon\] Nhận thấy rằng có \[(x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow 2^b\geq 2^a\Rightarrow b\geq a\]. Nếu $b=a$ thì $x=1$ hoặc $y=1$. Ta tìm được bộ : \[(x,y,z)=(1,2^a-1,2a),(2^a-1,1,2a)\] Nếu $b>a$ thì $b-2>2a-b-2$. Ta tiếp tục lập luận : \[-m\epsilon -1=2^{b-2}m^2-2^{2a-b-2}=2^{2a-b-2}(2^{2b-2a}m^2-1)\geq m^2-1\Rightarrow m^2\pm m\leq 0\] Các giá trị tìm được của $m$ đều mâu thuẫn vì $m$ nguyên dương. Tổng hợp lại các kết quả, ta kết luận đáp số bài toán là : \[(x,y,z)=(2^a-1,1,2a),(1,2^a-1,2a),(2^a-1,2^a+1,3a-2),(2^a+1,2^a-1,3a-2)\] Trong đó $a$ là số nguyên dương tùy ý.

Number Theory

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2004)

Tìm bộ ba các số nguyên dương $(x, y, z)$ thỏa mãn phương trình :

$(x + y) (1 + x y) = 2^{z}$

Lời giải :

Từ phương trình ta được ${x + y = 2^{a} 1 + x y = 2^{b} (a, b \in N^{*})$ .

Theo định lí Viete thì $x, y$ là hai nghiệm của phương trình :

$X^{2} - 2^{a} . X + 2^{b} - 1 = 0 (*)$

Để nghiệm của $(*)$ nguyên thì biệt thức $Δ^{'} = 2^{2 a - 2} - 2^{b} + 1$ phải là một số chính phương. Ta đặt:

$2^{2 a - 2} - 2^{b} + 1 = k^{2} (k \in N) (* *)$

Nếu $2^{b} \geq 2^{2 a - 2}$ . Ta cũng có $2^{2 a} = (x + y)^{2} \geq 4 x y = 4 (2^{b} - 1) \Rightarrow 2^{2 a} + 1 \geq 2^{b}$ .

Như vậy thì $2^{2 a - 2} \leq 2^{b} \leq 2^{2 a - 2} + 1$ .

Khi $2^{b} = 2^{2 a - 2}$ thì $k = 1$ . Khi ấy $(*)$ có nghiệm $X = 2^{a - 1} \pm 1$ . Từ đó $(x, y) = (2^{a - 1} - 1, 2^{a - 1} + 1), (2^{a - 1} + 1, 2^{a - 1} - 1)$ . Thế vào phương trình ban đầu tìm được $z = 3 a - 2$ .

Khi $2^{b} = 2^{2 a - 2} + 1$ , không mấy khó khăn ta tìm được $(a, b) = (1, 1)$ . Từ đó thu được bộ $(x, y, z) = (1, 1, 2)$ .

Nếu $2^{b} < 2^{2 a - 2}$ thì viết $(* *)$ dưới dạng :

$2^{b} (2^{2 a - b - 2} - 1) = (k - 1) (k + 1)$

Trường hợp $a = 1$ hoặc $b = 1$ đơn giản, cũng cho bộ $(x, y, z) = (1, 1, 2)$ . Ta chỉ xét $a, b > 1$ .

Khi đó dễ thấy $k$ lẻ, từ đó kéo theo $g cd (k - 1, k + 1) = 2$ .

Suy ra trong hai số $k - 1, k + 1$ sẽ có một số chia hết cho $2^{b - 1}$ . Ta giả sử :

$k = 2^{b - 1} m + ϵ (ϵ = \pm 1)$

Thay ngược vào $(* *)$ :

$2^{b} (2^{2 a - b - 2} - 1) = k^{2} - 1 = 2^{2 b - 2} m^{2} + 2^{b} m ϵ \Rightarrow 2^{2 a - b - 2} - 1 = 2^{b - 2} m^{2} + m ϵ$

Nhận thấy rằng có

$(x - 1) (y - 1) \geq 0 \Rightarrow x y + 1 \geq x + y \Rightarrow 2^{b} \geq 2^{a} \Rightarrow b \geq a$ .

Nếu $b = a$ thì $x = 1$ hoặc $y = 1$ . Ta tìm được bộ :

$(x, y, z) = (1, 2^{a} - 1, 2 a), (2^{a} - 1, 1, 2 a)$

Nếu $b > a$ thì $b - 2 > 2 a - b - 2$ . Ta tiếp tục lập luận :

$- m ϵ - 1 = 2^{b - 2} m^{2} - 2^{2 a - b - 2} = 2^{2 a - b - 2} (2^{2 b - 2 a} m^{2} - 1) \geq m^{2} - 1 \Rightarrow m^{2} \pm m \leq 0$

Các giá trị tìm được của $m$ đều mâu thuẫn vì $m$ nguyên dương.

Tổng hợp lại các kết quả, ta kết luận đáp số bài toán là :

$(x, y, z) = (2^{a} - 1, 1, 2 a), (1, 2^{a} - 1, 2 a), (2^{a} - 1, 2^{a} + 1, 3 a - 2), (2^{a} + 1, 2^{a} - 1, 3 a - 2)$

Trong đó $a$ là số nguyên dương tùy ý.

Number Theory

Đề bài

Mô tả