Inequality

Bài toán (AoPS)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a+b}{ab(1+ab)}+\frac{bc}{bc(1+bc)}+\frac{ca}{ca(1+ca)}\ge 3$$

Lời giải :

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được :

$$VT\ge 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a^2{b}^2{c}^2(1+ab)(1+bc)(1+ca)}}$$

Và ta chỉ cần chứng tỏ rằng :

$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^2{b}^2{c}^2(1+ab)(1+bc)(1+ca)$$

Vì $a+b+c=3$ nên $ab+bc+ca\le 3$ và $abc\le 1$

Từ đó mà :

$a^2{b}^2{c}^2(1+ab)(1+bc)(1+ca)$$\le abc{\left(\frac{3+ab+bc+ca}{3}\right)}^3$$\le 8abc$$\le (a+b)(b+c)(c+a)$

Ta được điều phải chứng minh.