Sequence – Limit

Bài toán (Vietnamses Mathematical Olympiad 2012)

Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định như sau : $x_1=3$ và :

$$x_n=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2),\forall n\ge 2$$

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Ta có :

$$x_n-x_{n-1}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)-x_{n-1}=\frac{2(n+2)-2x_{n-1}(n-1)}{3n}(\ast )$$

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $x_{n-1}\ge \frac{n+2}{n-1}$. Điều này đúng với $n=2$, giả sử như vậy. Ta có :

$x_n$$=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$$\ge \frac{n+2}{3n}\left(\frac{n+2}{n-1}+2\right)$$=\frac{n+2}{n-1}$

Vậy nên cần chỉ ra :

$$\frac{n+2}{n-1}\ge \frac{n+3}{n}\iff n^2+2n\ge n^2+2n-3$$, luôn đúng.

Từ đó theo nguyên lí quy nạp ta có :

$$x_{n-1}\ge \frac{n+2}{n-1},\forall n\ge 2$$

Từ $(\ast )$ suy ra $x_n<x_{n-1}$ hay dãy $(x_n)$ là dãy giảm. Hiển nhiên $(x_n)$ bị chặn dưới bởi $0$ nên tồn tại giới hạn hữu hạn $l$ của nó. Chuyển qua giới hạn :

$$l=\frac{1}{3}(l+2)\iff l=1$$

Như vậy ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$