1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Japan Mathematical Olympiad Finals 2009) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho . Lời giải : Ta có , lại theo đề bài thì . Dẫn đến : Ta chứng minh bằng quy nạp rằng nếu thì : Gỉa sử có . Ta cần chứng minh . Do có nên ta […]
Bài toán (Indian National Olympiad 2013) Tìm tất cả các số tự nhiên và số nguyên tố thỏa mãn : Lời giải : Ta đưa phương trình về dạng : Nếu thì , ta được . Nếu thì . Dễ thấy loại trường hợp này. Ta chỉ xét , do không thỏa nên ta cũng xét […]
Bài toán (Finland Finish National High School Mathematics Competition 2013) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên thỏa mãn : Trong đó và là hai số nguyên tố. Lời giải : Nếu thì : Vì lẻ nên lẻ, suy ra có ước lẻ, vô lí. Xét lẻ. Ta viết phương trình dưới dạng : […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 286) Xét dãy số : Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố thì tổng chia hết cho . Lời giải : Ta chọn đa thức bậc ba : Thỏa mãn : Đặt Thay vào công thức xác định dãy : Ta tính được , […]
Bài toán (Thi chọn HSG vòng 2 thành phố Đà Nẵng năm 2011-2012) Cho dãy số thực thỏa mãn . a) Tìm công thức tính theo và . b) Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn. Lời giải : a) Ta có : Từ đó : Suy ra : b) Nhận thấy . Xét hai […]
Bài toán (IMO Shortlist 2008) Trong tam giác nhọn , kẻ hai đường cao . Hai đường tròn qua tiếp xúc với đường thẳng lần lượt tại sao cho nằm giữa và . Chứng minh rằng : gặp nhau tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác . Lời giải : Gọi là […]
Bài toán (Turkey National Olympiad Second Round 2013) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn : Lời giải : Xét . Do nên . Như vậy ta xét . Thử từng trường hợp ta được cặp . Ta chỉ xét . Đặt . Dễ thấy . Ta có : Suy ra : Lại theo định lí Legendre […]
Bài toán (Korea Final Round 2009) Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Ta đặt : Chứng minh rằng . Lời giải : Ta có : Hơn nữa theo một bất đẳng thức quen thuộc Thì ta có : Từ đó suy ra : Mặt khác sử dụng BĐT AM-GM ta được : […]
Bài toán (Turkey National Olympiad Second Round 2008) Cho các số dương có tổng bằng . Chứng minh rằng : Lời giải : Đổi biến thì ta có . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : Ta chứng minh kết quả mạnh hơn như sau : Sử dụng bất đẳng thức […]
Bài toán (Macedonia National Olympiad 2009) Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được : Kết quả này tương đương : Do vậy việc chứng minh kết thúc nếu ta chỉ ra được : Thế nhưng đây đơn giản chỉ là một đẳng […]
Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2013) Cho các số thực dương thỏa mãn : Chứng minh rằng : Tìm tất cả các bộ ba để đẳng thức xảy ra. Lời giải : Áp dụng BĐT Holder, ta được : Từ đây có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi […]
Bài toán (Bosnia Herzegovina Regional Olympiad 2008) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz : Hoàn toàn tương tự ta được : Cộng vế theo vế hai BĐT trên thì : Cần chứng minh : Điều này luôn đúng vì : Ta […]
Bài toán (Turkey Team Selection Test 2012) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Sử dụng giả thiết và BĐT quen thuộc , ta được : Như vậy thì cần chứng minh : Ta đã có : Nên chỉ cần chứng minh được : Theo AM-GM, ta đi chứng minh […]
Bài toán (Switzerland Final Round 2010) Cho các số tự nhiên thỏa mãn là một số nguyên tố và chia hết . Chứng minh rằng . Lời giải : Gỉa sử phản chứng Ta có : Hơn nữa vì nguyên tố nên Đây là điều hoàn toàn vô lí. Ta được điều phải chứng minh
Bài toán (Japan Mathematical Olympiad Finals 2014) Tìm tất cả các bộ ba với nguyên dương và thỏa mãn : Lời giải : Xét được . Nếu thì . Nếu thì . Suy ra , mâu thuẫn. Ta được bộ . Xét được , mâu thuẫn. Xét thì : . Nếu thì , vô lí vì . Nếu […]
Bài toán (Germany Team Selection Test 2010) Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : Lời giải : Xét , không tìm được thỏa mãn. Xét thì được . Xét kéo theo . Viết phương trình dưới dạng : Từ phương trình trên ta được : Từ đó ta được : Kéo theo : Lại suy […]
Bài toán (Indian National Olympiad 2008) Tìm bộ ba thỏa mãn phương trình : Trong đó là số nguyên tố và là các số tự nhiên. Lời giải : Xét không thỏa mãn. Ta chỉ xét . Phương trình trên dẫn đến hệ sau : Nếu thì được , từ đó tìm được . Nếu thì […]
Bài toán (Vietnam Mathematical Olympiad 2002) Cho đa thức hệ số thực có ba nghiệm. Chứng minh rằng : Lời giải : Gọi là ba nghiệm của . Theo định lí Viete : Ta cần chứng minh : Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Khi đó cần chứng minh […]
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức có hệ số nguyên và chia hết cho với mọi số nguyên . Lời giải : Ta có : Theo đề bài : Kéo theo : Cố định , chọn đủ lớn sao cho , khi đó không được thỏa mãn. Hiển nhiên tồn tại vô số […]
Bài toán : Cho là số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên , đa thức chia hết cho đa thức . Lời giải : Với , ta có : Gỉa sử có . Xét với : Ta có : Theo nguyên lí quy nạp, bài toán được chứng minh.