Number Theory

Bài toán (Germany Team Selection Test 2010)

Tìm các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn :

$$3^m-7^n=2$$

Lời giải :

Xét $m=1$, không tìm được $m$ thỏa mãn. Xét $m=2$ thì được $n=1$. Xét $m\ge 3$ kéo theo $n\ge 2$.

Viết phương trình dưới dạng :

$$9(3^{m-2}-1)=7(7^{n-1}-1)$$

Từ phương trình trên ta được :

$$7^{n-1}\equiv 1(mod9)\Rightarrow 3=or{d}_9(7)\mid n-1$$

Từ đó ta được :

$$7^{n-1}-1⋮7^3-1⋮19$$

Kéo theo :

$$3^{m-2}\equiv 1(mod19)\Rightarrow 18=or{d}_{19}(3)\mid m-2$$

Lại suy ra được :

$$3^{m-2}-1⋮3^{18}-1⋮37$$

Do vậy mà :

$$7^{n-1}\equiv 1(mod37)\Rightarrow 9=or{d}_{37}(7)\mid m-1$$

Dẫn đến :

$$3^2(3^{m-2}-1)⋮7^{n-1}-1⋮7^9-1⋮27$$

Đây là điều mâu thuẫn. Có duy nhất một cặp số thỏa mãn bài ra là $(m,n)=(2,1)$