Polynomial

Bài toán : Cho $a$ là số thực thỏa mãn điều kiện $sin(a)\ne 0$. Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên $n\ge 2$, đa thức 

$$P_n(x)=x^{n}sin(a)-x.sin(na)+sin(n-1)a$$ 

chia hết cho đa thức $Q(x)=x^2-2x.cos(a)+1$.

Lời giải :

Với $n=2$, ta có :

$$P_2(x)=x^{2}sin(a)-x.sin(2a)+sin(a)=sin(a)\left[x^2-2cos(a).x+1\right]=sin(a).Q(x)⋮Q(x)$$

Gỉa sử có $P_n(x)=x^n.sin(a)-x.sin(na)+sin(n-1)a⋮Q(x)$. Xét với $n+1$ :

Ta có :

$$P_{n+1}(x)=x^{n+1}sin(a)-x.sin(n+1)a+sin(na)$$

$$=x\left[x^n.sin(a)-x.sin(na)+sin(n-1)a\right]+x^2.sin(na)-x.sin(n-1)a-x.sin(n+1)a+sin(na)$$

$$=x.P_n(x)+sin(na).\left[x^2-2x.cos(a)+1\right]+2sin(na).cos(a).x-x.sin(n-1)a-x.sin(n+1)a$$

$$=x.P_n(x)+sin(na).Q(x)+x\left[2sin(na).cos(a)-sin(n-1)a-sin(n+1)a\right]$$

$=x.P_n(x)+sin(na).Q(x)+x\left[2sin(na).cosa-2sin(na).cos(a)\right]$$=x.P_n+sin(na).Q(x)⋮Q(x)$

Theo nguyên lí quy nạp, bài toán được chứng minh.