1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (USA MO 1977) Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức là nghiệm của đa thức . Lời giải : Đặt và . Gỉa sử có bốn nghiệm . Theo định lí ta có . Ta chứng minh : Ta có : Tương tự thì được . Hơn nữa ta có : […]
Bài toán : Cho số nguyên phân biệt . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên . Lời giải : Gỉa sử rằng trong đó . Vì nên cùng dấu với mọi . Không giảm tổng quát, ta xét với mọi . Ta có : Do đó ta được : Thay vào giả thiết ban […]
Bài toán (VMO 2014) Cho đa thức với là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức không thể biểu diễn được dưới dạng tích của đa thức khác hằng số với hệ số nguyên. Lời giải : Gỉa sử phản chứng : Vì nên không có nghiệm thực. Do đó các đa thức cũng […]
Bài toán (IMO 1993) Cho số tự nhiên lớn hơn . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên . Lời giải : Gỉa sử rằng : trong đó . Ta có . Không giảm tổng quát ta giả sử . Gọi và là nghiệm của : Vì nên . Ta có . Kéo theo : Ta cũng […]
Bài toán : Cho số tự nhiên . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên . Lời giải : Gỉa sử rằng : . Ta có : Không giảm tổng quát, ta giả sử . Gọi là nghiệm của . Ta biểu diễn : Ta có : Như vậy thì Khi đó thì : Và […]
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn : Lời giải : Bổ đề : Nếu là đa thức thỏa mãn thì Chứng minh bổ đề : Nếu đồng nhất hằng số thì ta dễ thấy Nếu thì đặt . Ta đi chứng minh . Gỉa sử ngược lại, một trong các số . […]
Bài toán (Romania 2001) Tìm đa thức hệ số thực thỏa mãn : Lời giải : Dễ thấy đa thức hằng thỏa mãn. Ta có : Hơn nữa ta có : Với . Từ đó suy ra : Đặt ta được : Đặt Ta được : Đồng nhất hệ số của ta suy ra Dẫn […]
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức hệ số thực và thỏa mãn : Lời giải : Đặt , trong cho : Đặt trong đó . Thay vào : Trong lại cho được : Mâu thuẫn với cách đặt trên. Từ đó ta có :
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn : Lời giải : Trong cho được hoặc . Nếu , ta đặt trong đó . Thay vào : Trong lấy được . Mâu thuẫn với cách đặt. Từ đó ta được . Nếu , ta đặt trong đó . Thay vào : Trong […]
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn : Lời giải : Nếu đồng nhất hằng số thì dễ thấy là thỏa mãn. Xét . Đặt . Ta đi chứng minh . Gỉa sử phản chứng là một trong các số đó khác . Gọi là số lớn nhất thỏa […]
Bài toán (Albania TST 2009) Tìm tất cả các đa thức khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn : Lời giải : Dễ thấy đa thức đồng nhất hằng số khác không thoả mãn. Gỉa sử Áp dụng BĐT : Kết hợp với giả thiết đề bài ta được : […]
Bài toán (Korea National Olympiad 2013) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Sử dụng BĐT quen thuộc sau (hệ quả của BĐT Holder) : Ta có : Thế nhưng lại áp dụng BĐT AM-GM, ta được : Do vậy mà : Giờ ta chỉ việc chứng minh […]
Bài toán (Korean National Olympiad 2009) Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Áp dụng BĐT AM-GM : Hoàn toàn tương tự : Cộng các BĐT trên theo vế ta được điều phải chứng minh :
Bài toán : Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình : Lời giải : Nếu thì thử trực tiếp ta được . Ta xét . Khi đó . Đưa phương trình về dạng : Từ phương trình trên suy ra : Dẫn đến : Từ đó kéo theo : Lúc này ta được Và […]
Bài toán (Bonisa Herzegovina TST 2014) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thỏa mãn phương trình : Lời giải : Dễ dàng kiểm tra được cặp thỏa mãn. Ta xét . Viết lại phương trình : Ta có : Suy ra : Do vậy mà : Thế nhưng lại dễ thấy : […]
Bài toán (Bonisa Herzegovina TST 2014) Cho là các số thực phân biệt. a) Xác định giá trị của biểu thức : b) Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : a) Bằng một vài tính toán đơn giản ta tính được . b) Sử dụng bất đẳng thức ta được : Sử dụng […]
[Mọi người click vào số thứ tự bài để xem đáp án nha] Bài 101 Cho là các số thực phân biệt. a) Xác định giá trị của biểu thức : b) Chứng minh bất đẳng thức : Bài 102 Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Ta đặt : Chứng minh rằng . […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 327) Cho hai dãy số thỏa mãn và : Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho không chia hết cho . Lời giải : Ta có : Dễ dàng chỉ ra được . Từ đó ta có : Đặt ta được : Lại đặt […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 262) Cho dãy xác định bởi : Hãy xác định công thức tổng quát của dãy và chứng minh rằng số có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp. Lời giải : Ta biến đổi : Thay bởi ta […]
Bài toán (Thi chọn HSG tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2011-2012) Cho dãy số xác định bởi : Tìm công thức tổng quát của dãy trên. Lời giải : Đặt , kéo theo . Thay vào công thức đề bài, ta được : Đặt ta được : Lại có nên : Như vậy công thức tổng […]