Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 262)

Cho dãy $(a_{n})$ xác định bởi :

${a_{0} = 2 a_{n + 1} = 4 a_{n} + 15 a_{n}^{2} - 60, \forall n \geq 1$

Hãy xác định công thức tổng quát của dãy và chứng minh rằng số $\frac{1}{5} (a_{2 n} + 8)$ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp.

Lời giải :

Ta biến đổi :

$(a_{n + 1} - 4 a_{n})^{2} = 15 a_{n}^{2} - 60 \Leftrightarrow a_{n + 1}^{2} - 8 a_{n} a_{n + 1} + a_{n}^{2} + 60 = 0 (1)$

Thay $n$ bởi $n - 1$ ta được :

$a_{n}^{2} - 8 a_{n} a_{n - 1} + a_{n - 1}^{2} + 60 = 0 (2)$

Từ $(1) (2)$ ta suy ra $a_{n + 1}, a_{n - 1}$ là hai nghiệm của phương trình :

$x^{2} - 8 a_{n} x + a_{n}^{2} + 60 = 0$

Theo định lí Viete thì ta được $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 8 a_{n}$ hay $a_{n + 1} = 8 a_{n} - a_{n - 1}$ .

Phương trình đặc trưng của dãy :

$x^{2} - 8 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 4 \pm 15$

Ta được :

$a_{n} = k (4 + 15)^{n} + l (4 - 15)^{n}$

Do $a_{0} = 2, a_{1} = 8$ nên ta dẫn đến hệ :

${k + l = 2 k (4 + 15) + l (4 - 15) = 8 \Leftrightarrow k = l = 1$

Thu được :

$a_{n} = (4 + 15)^{n} + (4 - 15)^{n}$

Đặt $A = (4 + 15)^{n}, B = (4 - 15)^{n} \Rightarrow A B = 1$ .

Dễ thấy phải tồn tại một số nguyên $k$ để :

$A - B = k 15$

Do vậy mà :

$A^{2} + B^{2} = (A - B)^{2} + 2 A B = 15 k^{2} + 2$

Khi đó ta có ngay :

$\frac{1}{5} (a_{2 n} + 8) = \frac{1}{5} (A^{2} + B^{2} + 8) = \frac{1}{5} (15 k^{2} + 10) = 3 k^{2} + 2 = (k - 1)^{2} + k^{2} + (k + 1)^{2}$

Đây là điều phải chứng minh.

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả