Polynomial

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$$P(x)P(x^2)=P(x^3),\forall x\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Nếu $P(x)$ đồng nhất hằng số thì dễ thấy $P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1$ là thỏa mãn. Xét $degP(x)\ge 1$.

Đặt $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0(a_n\ne 0)$.

Ta đi chứng minh $a_0=a_1=...=a_{n-1}=0$. Gỉa sử phản chứng là một trong các số đó khác $0$.

Gọi $k$ là số lớn nhất thỏa mãn $a_k\ne 0$. Ta có :

$$P(x).P(x^2)=(a_n{x}^n+a_k{x}^k+...+a_{1}x+a_0)(a_n{x}^{2n}+a_k{x}^{2k}+...+a_1{x}^2+a_0)$$

$$P(x^3)=a_n{x}^{3n}+a_k{x}^{3k}+...+a_1{x}^3+a_0$$

Đồng nhất hệ số của $x^{2n+k}$ ở hai vế ta có : $a_n{a}_k=0$, đây là điều mâu thuẫn.

Từ đó giả sử phản chứng sai, ta phải có $a_0=a_1=...=a_{n-1}=0$.

Dễ dàng suy ra được $P(x)=x^n,\forall x\in \mathbb{R}$.

Đáp số của bài toán là :

$$P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1,P(x)=x^n,\forall x\in \mathbb{R}$$