1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Mạc Đĩnh Chi TpHCM) Cho dãy số thỏa mãn : Tính Lời giải : Dễ thấy là dãy dương nên bị chặn dưới bởi . Hơn nữa dễ dàng thấy rằng nên là dãy giảm. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn $L$. […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : Tính Lời giải : Dễ dàng chứng minh được Tiếp theo, ta xét : Trong đó : Vì nên Do vậy mà : Từ đó áp dụng định lí trung bình ta có :
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : Tìm Lời giải : Đặt thì từ công thức truy hồi ban đầu, ta được : Sử dụng kết quả của bài toán này, ta được :
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Bến Tre, tỉnh Bến Tre) Cho dãy số thỏa mãn : Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Ta chứng minh được bằng quy nạp Từ công thức truy hồi và bằng […]
Bài toán (Chọn đội tuyển QG trường PTNK – ĐHQG TpHCM năm 2010-2011) Cho dãy thỏa : Tính Lời giải : Dễ thấy là dãy số dương nên bị chặn dưới bởi . Mặt khác dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp với mọi nguyên dương. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Du , tỉnh Đắc Lắc) Cho dãy số nguyên dương thỏa : Tính Lời giải : Gỉa sử tồn tại nguyên dương sao cho : Khi đó từ đề bài ta có : Kéo theo : Điều này là không thể xảy […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : Tính Lời giải : Dễ dàng chứng minh được Từ công thức xác định dãy số, ta suy ra : Do vậy mà :
Bài toán (ĐHSP 2000) Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng dãy hội tụ. Lời giải : Dễ dàng thấy rằng là dãy tăng không nghiêm ngặt (1). Từ đó : Áp dụng BĐT : Lại có : Suy ra bị chặn trên bởi (2) Từ ta suy ra dãy hội tụ.
DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN – DÃY SỐ [Mọi người click vào số thứ tự bài để xem đáp án nha] Bài 1 Cho dãy số : a) Tính b) Tính Bài 2 Cho dãy số Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi . Tìm . Bài 3 Cho dãy số […]
Bài toán (THTT số 391) Cho dãy xác định bởi : Tính Lời giải : Từ công thức xác định dãy ta suy ra dãy bị chặn dưới bởi . Kéo theo : Suy ra dãy bị chặn : Xét hàm số , hàm này nghịch biến trên Nếu thì Do đó dãy tăng và giảm, […]
Bài toán (THTT số 420) Cho dãy số được xác định như sau : Tính . Lời giải : Từ công thức xác định dãy, ta có : Ta có , giả sử . Ta thấy : Như vậy dãy giảm và bị chặn dưới bởi nên có giới hạn hữu hạn , chuyển qua giới […]
Bài toán (THTT số 397) Cho các số dương thỏa . Chứng minh : Lời giải : Ta chứng minh điều tương đương sau : Theo BĐT : Dẫn đến : Ta được điều phải chứng minh.
Bài toán (THTT số 396) Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Trước hết ta chứng minh : Thật vậy, Áp dụng BĐT và : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại, ta được . Từ đó ta chỉ cần chứng minh được : Điều […]
Bài toán (IMO Shortlist 2009) Cho các số dương thỏa . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo ta có : Do vậy ta chỉ cần chứng minh : Hơn nữa ta có một kết quả quen thuộc : Do đó ta đi chứng tỏ một kết quả mạnh hơn : Điều này luôn đúng […]
Bài toán (THTT số 424) Cho các số dương thỏa . Chứng minh : Lời giải : Ta đổi biến với và . BĐT cần chứng minh trở thành : Thật vậy, ta có : Sử dụng BĐT ta đi chứng minh một kết quả mạnh hơn là : Và ta chỉ cần chỉ ra […]
Bài toán (Trần Quốc Anh) Cho ba số thực dương thỏa . Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : Bổ đề (Vasile Cirtoaje) Cho các số thực dương . Chứng minh rằng : Chứng minh bổ đề : Áp dụng BĐT ta có : Thế nhưng ta có một kết quả quen thuộc […]
Bài toán (VMO 2014) Cho các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời giải 1 : Bằng cách đặt ta được , biểu thức đã cho có thể viết gọn thành : Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc : Ta được : Lại áp dụng ta được […]
Bài toán (THTT số 413) Xét dãy số được xác định bởi : a) Tìm điều kiện của để mọi số hạng của dãy đều xác định. b) Tìm để . Lời giải : a) Ta có công thức : Ta có , đặt . Từ đó ta tính được : Bằng quy nạp ta được Do […]
Bài toán : Cho dãy xác định như sau : Tìm công thức tổng quát số hạng của dãy. Lời giải : Đặt , thay vào công thức đề bài : Đặt ta lại được : Vì nên . Xét số thực mà : Ta có : Bằng quy nạp ta được : Do vậy […]
Bài toán (VMO 2014) Cho hai dãy số dương thỏa và : Chứng minh rằng hai dãy có giới hạn hữu hạn. Tính các giới hạn đó. Lời giải : Ta tính được : Ta chứng minh được bằng quy nạp : Từ đó suy ra ngay :