Inequality

Bài toán (IMO Shortlist 2009)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{(2a+b+c{)}^2}+\frac{1}{(2b+c+a{)}^2}+\frac{1}{(2c+a+b{)}^2}\le \frac{3}{16}$$

Lời giải :

Theo $AM-GM$ ta có :

$$\frac{1}{(2a+b+c{)}^2}\le \frac{1}{4(a+b)(a+c)}$$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh :

$\frac{1}{(a+b)(b+c)}+\frac{1}{(b+c)(c+a)}+\frac{1}{(c+a)(a+b)}$$\le \frac{3}{4}$$\iff \frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$\le \frac{3}{8}$$\iff 8(a+b+c)$$\le 3(a+b)(b+c)(c+a)$

Hơn nữa ta có một kết quả quen thuộc :

$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$

Do đó ta đi chứng tỏ một kết quả mạnh hơn :

$$8(a+b+c)\le 3.\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\iff ab+bc+ca\ge 3$$

Điều này luôn đúng vì giả thiết tương đương :

$$abc(a+b+c)=ab+bc+ca\le \frac{1}{3}(ab+bc+ca{)}^2\iff ab+bc+ca\ge 3$$

Ta có điều phải chứng minh.