Sequence – Limit

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Bến Tre, tỉnh Bến Tre)

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=2013\\ x_{n-1}^2-2x_n{x}_{n-1}+4=0,\forall n\ge 2\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Ta chứng minh được bằng quy nạp $x_n\ne 0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Từ công thức truy hồi và bằng BĐT $AM-GM$, ta có :

$x_n$$=\frac{x_{n-1}^2+4}{2x_{n-1}}$$\ge \frac{2\sqrt{x_{n-1}^2.4}}{2x_{n-1}}$$\ge \frac{4x_{n-1}}{2x_{n-1}}$$=2(1)$

Cũng từ đó mà :

$$x_n=\frac{x_{n-1}^2+4}{2x_{n-1}}\le \frac{2x_{n-1}^2}{2x_{n-1}}=x_{n-1}$$

Như vậy dãy $(x_n)$ giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn hữu hạn $L$, chuyển qua giới hạn ta được :

$$L^2-2L^2+4=0\iff L=\pm 2$$

Mà do $(1)$ nên $L=2$.

Như vậy ta được $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=2$