Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (THTT số 420)

Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau :

${x_{1} = \frac{1001}{1003} x_{n + 1} = x_{n} - x_{n}^{2} + x_{n}^{3} - x_{n}^{4} + ... + x_{n}^{2011} - x_{n}^{2012}, \forall n \in N^{*}$

Tính $n \to + \infty lim (n x_{n})$ .

Lời giải :

Từ công thức xác định dãy, ta có :

$x_{n + 1} = x_{n} (1 - x_{n} + x_{n}^{2} - ... + x_{n}^{2010} - x_{n}^{2011}) = \frac{x _{n} ( 1 - x _{n}^{2012} )}{1 + x _{n}}$

Ta có $0 < x_{1} < 1$ , giả sử $0 < x_{n} < 1$ . Ta thấy :

$0 < \frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{1 - x _{n}^{2012}}{1 + x _{n}} < 1 \Rightarrow 0 < x_{n + 1} < x_{n}$

Như vậy dãy $(x_{n})$ giảm và bị chặn dưới bởi $0$ nên có giới hạn hữu hạn $L$ , chuyển qua giới hạn :

$L = \frac{L ( 1 - L ^{2012} )}{1 + L} \Leftrightarrow L = 0$

Do đó $n \to + \infty lim x_{n} = 0$

Ta xét :

$\frac{1}{x _{n + 1}} - \frac{1}{x _{n}} = \frac{1 + x _{n}}{x _{n} ( 1 - x _{n}^{2012} )} - \frac{1}{x _{n}} = \frac{1 + x _{n}^{2011}}{1 - x _{n}^{2012}} \to 1$

Áp dụng định lí trung bình $C es a r o$ ta được :

$n \to + \infty lim (n x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{x _{n}}{n ^{- 1}} = n \to + \infty lim (\frac{1}{x _{n + 1}} - \frac{1}{x _{n}}) = 1$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả