Sequence – Limit

Bài toán (THTT số 391) Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=\alpha >1\\ x_{n+1}=\sqrt{1+\frac{1}{1+x_n}},\forall n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$

Lời giải :

Từ công thức xác định dãy ta suy ra dãy bị chặn dưới bởi $1$.

Kéo theo :

$$x_{n+1}=\sqrt{1+\frac{1}{1+x_n}}<\sqrt{1+\frac{1}{1+1}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Suy ra dãy $(x_n)$ bị chặn :

$$1<x_n<\sqrt{\frac{3}{2}},\forall n\in \mathbb{N}$$

Xét hàm số $f(t)=\sqrt{1+\frac{1}{1+t}}$, hàm này nghịch biến trên $\left(1,+\infty \right)$

Nếu $x_2>x_0$ thì

$$f(x_2)<f(x_0)\Rightarrow x_3<x_1\Rightarrow f(x_3)>f(x_1)\Rightarrow x_4>x_2\Rightarrow f(x_4)<f(x_2)\Rightarrow x_5<x_3\Rightarrow ...\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{2n}<x_{2n+2}\\ x_{2n+3}<x_{2n+1}\end{array}$$

Do đó dãy $(x_{2n}$ tăng và $(x_{2n+1})$ giảm, mà cả hai đều bị chặn nên chúng hội tụ.

Gỉa sử $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_{2n}=a,\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_{2n+1}=b$

Chuyển qua giới hạn, ta được hệ :

$$\{\begin{array}{c}a=\sqrt{1+\frac{1}{b}}\\ b=\sqrt{1+\frac{1}{a}}\end{array}$$

Do tính nghịch biến của $f(t)$ nên ta được $a=b$.

Dẫn đến phương trình :

$$a=\sqrt{1+\frac{1}{a}}\iff a^3+a^2-a-2=0$$

Đặt $t=a+1/3$, ta được :

${\left(t-\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(t-\frac{1}{3}\right)}^2-\left(t-\frac{1}{3}\right)-2$$=0$$\iff t^3-\frac{4t}{3}-\frac{43}{27}$$=0$

Áp dụng công thức $Cardano$ ta được nghiệm duy nhất của phương trình trên :

$$t=\sqrt[3]{\frac{43}{54}-\frac{\sqrt{177}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{43}{54}+\frac{\sqrt{177}}{18}}$$

Dẫn đến :

$a$$=\sqrt[3]{\frac{43}{54}-\frac{\sqrt{177}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{43}{54}+\frac{\sqrt{177}}{18}}-\frac{1}{3}$

Ta được

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$$=\sqrt[3]{\frac{43}{54}-\frac{\sqrt{177}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{43}{54}+\frac{\sqrt{177}}{18}}-\frac{1}{3}$