Sequence – Limit

Bài toán : Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=0\\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2\sqrt{1+2u_n}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n}{u}_n}{n}$

Lời giải :

Đặt $1+2u_n=v_n$ thì từ công thức truy hồi ban đầu, ta được :

$$2u_{n+1}+1=2u_n+1+\frac{1}{\sqrt{1+2u_n}}\iff v_{n+1}=v_n+\frac{1}{\sqrt{v_n}}$$

Sử dụng kết quả của bài toán này, ta được :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^3}{n^2}$$=\frac{9}{4}$$\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n}{n^{2/3}}$$=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}$$\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n-1}{2n^{2/3}}$$=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}$$\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n}{u}_n}{n}$$=\frac{1}{2}.\sqrt[3]{\frac{9}{4}}$