Bài toán (VMO 2014) Cho các số thực dương $x,y,z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \[P=\dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\dfrac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\dfrac{z^3x^4y^4}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}\] Lời giải 1 : Bằng cách đặt $a=x/y,b=y/z,c=z/x$ ta được $abc=1$, biểu thức đã cho có thể viết gọn thành : \[P=\dfrac{1}{(a^4+1)(b+c)^3}+\dfrac{1}{(b^4+1)(c+a)^3}+\dfrac{1}{(c^4+1)(a+b)^3}\] Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc : \[8(a^4+1)\geq (a+1)^4\] Ta được : \[\dfrac{P}{8}\leq \underset{sym}{\sum} \dfrac{1}{(a+1)^4(b+c)^3}\] Lại áp dụng $AM-GM$ ta được : \[(a+1)^4(b+c)^3=(a+1)^2(b+c)^2.(a+1)^2(b+c)\geq 4a.4bc.(a+1)^2(b+c)=16(a+1)^2(b+c)\] Do đó : \[\dfrac{P}{2}\leq \underset{sym}{\sum} \dfrac{1}{(a+1)^2(b+c)}\] Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau của tác giả Trần Quốc Anh, ta có : \[\underset{sym}{\sum} \dfrac{1}{(a+1)^2(b+c)}\leq \dfrac{3}{8}\] Dẫn đến : \[P\leq \dfrac{3}{16}\] Ta được $P_{\max}=\dfrac{3}{16}$, đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$. Lời giải 2 : Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ : \[(x^4+y^4)(xy+z^2)^3\geq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}.4xyz^2.(xy+z^2)=2xyz^2(x^2+y^2)^2(xy+z^2)\geq 4x^2y^2z^2(x^2+y^2)(xy+z^2)\] Do đó : \[\dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}\leq \dfrac{x^3y^4z^3}{4x^2y^2z^2(x^2+y^2)(xy+z^2)}=\dfrac{xy^2z}{4(x^2+y^2)(xy+z^2)}=\dfrac{xy^2z}{4(x^2z^2+y^2z^2+xy(x^2+y^2))}\leq \dfrac{xy^2z}{4(x^2z^2+y^2z^2+2x^2y^2)}=\dfrac{ab}{4(c^2+b^2+2a^2)}\] Trong đó $a=xy,b=yz,c=zx$. Hoàn toàn tương tự : \[\dfrac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}\leq \dfrac{bc}{4(a^2+c^2+2b^2)},\dfrac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^2}\leq \dfrac{ca}{4(b^2+a^2+2c^2)}\] Ta sẽ chứng minh : \[\dfrac{ab}{c^2+b^2+2a^2}+\dfrac{bc}{a^2+c^2+2b^2}+\dfrac{ca}{b^2+a^2+2c^2}\leq \dfrac{3}{4}\;\;\;(*)\] Thật vậy, áp dụng BĐT $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ : \[\dfrac{ab}{c^2+b^2+2a^2}\leq \dfrac{(a+b)^2}{4\left [ (a^2+b^2)+(a^2+c^2) \right ]}\leq \dfrac{1}{4}\left ( \dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2} \right )\] Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại ta được $(*)$ Kéo theo \[P\leq \dfrac{3}{16}\] Ta được $P_{\max}=\dfrac{3}{16}$, đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.

Inequality

Bài toán (VMO 2014) Cho các số thực dương $x, y, z$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P = \frac{x ^{3} y ^{4} z ^{3}}{( x ^{4} + y ^{4} ) ( x y + z ^{2} ) ^{3}} + \frac{y ^{3} z ^{4} x ^{3}}{( y ^{4} + z ^{4} ) ( y z + x ^{2} ) ^{3}} + \frac{z ^{3} x ^{4} y ^{4}}{( z ^{4} + x ^{4} ) ( z x + y ^{2} ) ^{3}}$

Lời giải 1 :

Bằng cách đặt $a = x / y, b = y / z, c = z / x$ ta được $ab c = 1$ , biểu thức đã cho có thể viết gọn thành :

$P = \frac{1}{( a ^{4} + 1 ) ( b + c ) ^{3}} + \frac{1}{( b ^{4} + 1 ) ( c + a ) ^{3}} + \frac{1}{( c ^{4} + 1 ) ( a + b ) ^{3}}$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc :

$8 (a^{4} + 1) \geq (a + 1)^{4}$

Ta được :

$\frac{P}{8} \leq sy m \sum \frac{1}{( a + 1 ) ^{4} ( b + c ) ^{3}}$

Lại áp dụng $A M - GM$ ta được :

$(a + 1)^{4} (b + c)^{3} = (a + 1)^{2} (b + c)^{2} . (a + 1)^{2} (b + c) \geq 4 a .4 b c . (a + 1)^{2} (b + c) = 16 (a + 1)^{2} (b + c)$

Do đó :

$\frac{P}{2} \leq sy m \sum \frac{1}{( a + 1 ) ^{2} ( b + c )}$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau của tác giả Trần Quốc Anh, ta có :

$sy m \sum \frac{1}{( a + 1 ) ^{2} ( b + c )} \leq \frac{3}{8}$

Dẫn đến :

$P \leq \frac{3}{16}$

Ta được $P_{m a x} = \frac{3}{16}$ , đẳng thức xảy ra khi $x = y = z$ .

Lời giải 2 :

Sử dụng bất đẳng thức $A M - GM$ :

$(x^{4} + y^{4}) (x y + z^{2})^{3} \geq \frac{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}{2} .4 x y z^{2} . (x y + z^{2}) = 2 x y z^{2} (x^{2} + y^{2})^{2} (x y + z^{2}) \geq 4 x^{2} y^{2} z^{2} (x^{2} + y^{2}) (x y + z^{2})$

Do đó :

$\frac{x ^{3} y ^{4} z ^{3}}{( x ^{4} + y ^{4} ) ( x y + z ^{2} ) ^{3}} \leq \frac{x ^{3} y ^{4} z ^{3}}{4 x ^{2} y ^{2} z ^{2} ( x ^{2} + y ^{2} ) ( x y + z ^{2} )} = \frac{x y ^{2} z}{4 ( x ^{2} + y ^{2} ) ( x y + z ^{2} )} = \frac{x y ^{2} z}{4 ( x ^{2} z ^{2} + y ^{2} z ^{2} + x y ( x ^{2} + y ^{2} ))} \leq \frac{x y ^{2} z}{4 ( x ^{2} z ^{2} + y ^{2} z ^{2} + 2 x ^{2} y ^{2} )} = \frac{ab}{4 ( c ^{2} + b ^{2} + 2 a ^{2} )}$

Trong đó $a = x y, b = y z, c = z x$ . Hoàn toàn tương tự :

$\frac{y ^{3} z ^{4} x ^{3}}{( y ^{4} + z ^{4} ) ( y z + x ^{2} ) ^{3}} \leq \frac{b c}{4 ( a ^{2} + c ^{2} + 2 b ^{2} )}, \frac{z ^{3} x ^{4} y ^{3}}{( z ^{4} + x ^{4} ) ( z x + y ^{2} ) ^{2}} \leq \frac{c a}{4 ( b ^{2} + a ^{2} + 2 c ^{2} )}$

Ta sẽ chứng minh :

$\frac{ab}{c ^{2} + b ^{2} + 2 a ^{2}} + \frac{b c}{a ^{2} + c ^{2} + 2 b ^{2}} + \frac{c a}{b ^{2} + a ^{2} + 2 c ^{2}} \leq \frac{3}{4} (*)$

Thật vậy, áp dụng BĐT $A M - GM$ và $C a u c h y - S c h w a r z$ :

$\frac{ab}{c ^{2} + b ^{2} + 2 a ^{2}} \leq \frac{( a + b ) ^{2}}{4 [ ( a ^{2} + b ^{2} ) + ( a ^{2} + c ^{2} ) ]} \leq \frac{1}{4} (\frac{a ^{2}}{a ^{2} + c ^{2}} + \frac{b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}})$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại ta được $(*)$

Kéo theo

$P \leq \frac{3}{16}$

Ta được $P_{m a x} = \frac{3}{16}$ , đẳng thức xảy ra khi $x = y = z$ .

Inequality

Đề bài

Mô tả