Các bài toán về Giới hạn – Dãy số

DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN – DÃY SỐ

[Mọi người click vào số thứ tự bài để xem đáp án nha]

Bài 1 Cho dãy số

$$(x_n)$$ : $$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_n=\frac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18}(n\ge 2)\end{array}$$

a) Tính $x_{2013}$

b) Tính $lim{x}_n$

Bài 2 Cho dãy số $(u_n)$

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=2,a_2=1\\ a_{n+2}=\frac{a_n{a}_{n+1}}{2a_n+a_{n+1}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$. Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$.

Bài 3 Cho dãy số $(x_n)$ : 

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=2\\ x_{n+1}=\sqrt{4+\sqrt{8x_n+1}},\forall n=1,2,...\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.

Bài 4 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1>0\\ u_{n+1}{u}_n-3=\sqrt{3u_n^2+8u_n+9}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 5 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=3\\ x_{n+1}^3-3x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó.

Bài 6 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\sqrt{x_n(x_n+1)(x_n+2)(x_n+3)+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

a) Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$

b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\underset{i=1}{\sum ^n}\frac{1}{x_i+2}$

Bài 7 Dãy số $(x_n)$ cho bởi 

$$x_1=1;x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n}$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$

Bài 8 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=4\\ x_{n+1}=\frac{x_n^4+9}{x_n^3-x_n+6},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$

Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $y_n=\underset{k=1}{\sum ^n}\frac{1}{x_k^3+3}$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n$.

Bài 9 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n^2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n\sqrt{n}\right)$

Bài 10 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0>0\\ x_{n+1}=x_n+\frac{1}{\sqrt[k]{x_n}},\forall k,n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{x_n^{k+1}}{n^k}$

Bài 11  Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=0\\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2\sqrt{1+2u_n}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n}{u}_n}{n}$

Bài 12 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=2013\\ x_{n-1}^2-2x_n{x}_{n-1}+4=0,\forall n\ge 2\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 13 Cho dãy $(u_n)$ thỏa :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=\frac{1}{6}\\ u_{n+1}=u_n^2+\frac{2}{3}{u}_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{5u_{n+1}^2-2u_n^2{u}_{n+1}+5u_n{u}_{n+1}}{3u_n^2+u_n{u}_{n+1}(4+u_n^2)}$

Bài 14 Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ thỏa :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=1\\ u_{n+1}^2>u_n{u}_{n+2}\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\frac{3}{u_3}+...+\frac{n}{u_n}\right)$

Bài 15 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_{n+1}=x_n+x_n^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}}\right)$

Bài 16 Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=a_2=1\\ a_{n+1}=a_n+\frac{a_{n-1}}{n(n+1)}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ hội tụ.

Bài 17 Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=\alpha >1\\ x_{n+1}=\sqrt{1+\frac{1}{1+x_n}},\forall n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$

Bài 18 

Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1001}{1003}\\ x_{n+1}=x_n-x_n^2+x_n^3-x_n^4+...+x_n^{2011}-x_n^{2012},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim (}n{x}_n)$.

Bài 19 Xét dãy số $(u_n)$ được xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=a\\ u_{n+1}=\frac{(\sqrt{2}+1)u_n-1}{\sqrt{2}+1+u_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

a) Tìm điều kiện của $a$ để mọi số hạng của dãy đều xác định.

b) Tìm $a$ để $u_{2011}=2011$.

Bài 20 Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ u_{n+1}=u_n^3+3u_n^2-3,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tìm công thức tổng quát số hạng của dãy.

Bài 21 Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ thỏa $x_1=1,y_1=\sqrt{3}$ và :

$$\{\begin{array}{c}{x}_n{y}_{n+1}-x_n=0\\ x_{n+1}^2+y_n=2\end{array}$$

Chứng minh rằng hai dãy $(x_n),(y_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tính các giới hạn đó.

Bài 22 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=4\\ u_{n+1}=\frac{1}{9}\left(u_n+4+4\sqrt{1+2u_n}\right)\end{array}$$

Tìm công thức tổng quát của dãy trên.

Bài 23 Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $x_{n+1}=\frac{x_n^3+3x_n}{3x_n^2+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Tìm công thức tính $x_n$ theo $x_1$ và $n$.

b) Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 24 Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau :

$$a_n=n+a\sqrt{n^2+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Trong đó $a$ là tham số thực. 

a) Tìm $a$ sao cho dãy số đã cho hội tụ.

 b) Tìm $a$ sao cho $(a_n)$ là một dãy tăng kể từ số hạng nào đó.

Bài 25 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=a>1\\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n,\forall n\ge 1\end{array}$$

Tìm :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$

Bài 26 Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định như sau : $x_1=3$ và :

$$x_n=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2),\forall n\ge 2$$

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 27 Gỉa sử rằng :

$S_n$$=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left(\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}\right)$

Chứng minh rằng tồn tại $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$ và tính giới hạn này.

Bài 28  Cho dãy số $(x_n)$ với :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{2011}{2010}\\ x_{n+1}=x_n^2-2x_n+\frac{2n+4999}{n+2499}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 29 Cho $p$ là một số nguyên dương lớn hơn $1$, $a$ là một số thực dương. Xét dãy số $(x_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1>0\\ x_{n+1}=\frac{1}{p}\left((p-1)x_n+\frac{a}{x_n^p}\right),\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tính giới hạn đó. 

Bài 30 Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=y_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ x_{n+1}=\frac{x_n}{4y_{n+1}^2-1}\\ y_{n+1}=\frac{y_n}{1-4x_{n+1}^2}\end{array},\forall n=1,2,3,...$$

a) Chứng minh rằng $x_n^2+y_n^2=1,\forall n=1,2,\mathrm{3...}$

b) Tìm các giới hạn của các dãy $(x_n),(y_n)$.

Bài 31 Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :

$$x_1=1$$ và $$x_n=\frac{2n}{(n-1{)}^2}\underset{i=1}{\sum ^{n-1}}{x}_i$$ $$\forall n\ge 2$$

Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $y_n=x_{n+1}-x_n$. Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 32 Cho các số dương $a,b,c$. Xét ba dãy số $(u_n),(v_n),(w_n)$ sao cho :

$$u_0=a,v_0=b,w_0=c$$ và với mọi số tự nhiên $$n$$ thì :

$u_{n+1}$$=\frac{u_n+v_n+w_n}{3},v_{n+1}$$=\sqrt[3]{u_n{v}_n{w}_n},w_{n+1}$$=\frac{3}{\frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n}+\frac{1}{w_n}}$

Chứng minh rằng ba dãy số nói trên có giới hạn hữu hạn và ba giới hạn đó bằng nhau.

Bài 33 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\frac{2}{x_n}+\frac{\sqrt{3}}{x_n^2},\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ không có giới hạn hữu hạn.

Bài 34 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{4}\\ x_n=\frac{x_1+4x_2+9x_3+...+(n-1{)}^2{x}_{n-1}}{n^2(n-1)},\forall n\ge 2\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(30n^2-4n+2011\right)x_n$

Bài 35 Cho $a,b\in \left(0,1\right)$ và dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=a,u_1=b\\ u_{n+2}=\frac{1}{2011}{u}_{n+1}^4+\frac{2010}{2011}\sqrt[4]{u_n}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 36 Cho hai dãy số $(a_n),(b_n)$ thỏa mãn $a_1=3,b_1=2$ và :

$$\{\begin{array}{c}{a}_{n+1}=a_n^2+2b_n^2\\ b_{n+1}=2a_n{b}_n\end{array}$$

Tính các giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[2^n]{b_n}$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[2^n]{a_1{a}_2{a}_3...a_n}$.

Bài 37 Cho dãy số $(x_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1\in \left(1,2\right)\\ x_{n+1}=1+x_n-\frac{x_n^2}{2},\forall n=1,2,...\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$.

Bài 38 Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0,x_1,x_2\in \left(0,1\right)\\ 3x_{n+3}=x_n^2+x_{n+2}^2,\forall n=0,1,2,...\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 39 Cho các số thực dương $a,b$. Xét dãy số $(u_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=a,u_2=b\\ u_{n+2}=3\sqrt[5]{u_{n+1}}+13\sqrt[5]{u_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 40 Cho các số thực $a,b$ thuộc khoảng $(0,4)$. Xét dãy số $(x_n)$ như  sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=a,x_1=b\\ x_{n+2}=\frac{2(x_{n+1}+x_n)}{\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_n}},\forall n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Tính giới hạn hữu hạn nếu có của $(x_n)$.

Bài 41 Xác định công thức tổng quát của dãy $(a_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ a_{n+1}=2.3^{2^n}{a}_n^2-3^{2^n(n+1)},\forall n\ge 1\end{array}$$

Bài 42 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $0<x_0<x_1$ và :

$\sqrt{1+x_n}\left(1+\sqrt{x_{n-1}{x}_{n+1}}\right)$$=\sqrt{1+x_{n-1}}\left(1+\sqrt{x_n{x}_{n+1}}\right),\forall n$$\ge 1$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 43 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_0=1,u_1=3$ và :

$$u_{n+1}^2+4u_{n+1}=u_n+u_{n-1}+2\sqrt{(u_n+2)(u_{n-1}+2)}$$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 44 Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_1=\frac{1}{3},a_2=\frac{2}{7}$ và :

$$a_{n+1}=\frac{1}{2}+\frac{a_n}{3}+\frac{a_{n-1}^2}{6}$$

Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 45 Cho dãy số $(x_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=a\\ x_{n+1}=\sqrt[3]{7x_n-6}\end{array}$$

Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn trong các trường hợp đó.

Bài 46 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=a\ge 0\\ u_{n+1}=\frac{6}{u_n^2+2},\forall n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Tồn tại hay không giá trị của $a$ để dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn ?

Bài 47 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{3}\\ x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2}-1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Chứng minh rằng $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 48 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=m\in \mathbb{R}\\ 7u_{n+1}=\sqrt{30u_n^2+4}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 49 Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=a,0<a\ne 1\\ x_{n+1}=\frac{x_n^2+5}{2(x_n+2)},\forall n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Chứng minh rằng $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 50 Cho trước bốn số thực dương $a,b,A,B$. Xét dãy số $(x_n)$ :

$$x_1=a,x_2=b,x_{n+2}=A\sqrt[3]{x_{n+1}^2}+B\sqrt[3]{x_n^2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 51 Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn  

                                      $$\{\begin{array}{ccc}{x}_1=0,x_2=1& & \\ x_{n+1}=\frac{3x_{n-1}+2}{10x_n+2x_{n-1}+2},n\ge 2& & \end{array}$$ 

 Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 52 Cho hai dãy $(a_n),(b_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0=1,a_1=\frac{1}{2}\\ 2b_{n+1}=2b_n-a_n\\ b_n=\frac{1}{3}+2a_{n+1}\end{array}$$

Đặt $c_n=\frac{1}{2^{n+1}}\underset{k=0}{\sum ^n}\frac{b_k}{a_k}$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{c}_n$.

Bài 53 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=0,x_2=2\\ x_{n+2}=2^{-x_n}+\frac{1}{2},\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 54 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=1,x_2=\sqrt{2},x_3=\sqrt{3}$ và :

$$x_{n+3}{x}_n-3=\sqrt{3x_n^2+8x_n+9},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

 Bài 55 Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=2011$ và :

$u_{n+1}$$=\frac{\pi }{8}\left(\cos u_n+\frac{\cos 2u_n}{2}+\frac{\cos 3u_n}{3}\right),\forall n$$\ge 1$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 56 Xét dãy số $(u_n)$ như sau : $u_1=a>0$ và :

$$u_{n+1}={\log }_3\sqrt[3]{u_n^3+1}+\frac{4}{3},\forall n\in \mathbb{N}$$

Chứng minh dãy này có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 57 Xét dãy số $(u_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=a\in \left(0,1\right)\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{(1-u_n{)}^5},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Chứng minh rằng $(u_n)$ hội tụ.

Bài 58 Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0,x_1,x_2\in \mathbb{R}\\ 3^{x_n}+4^{x_{n+2}}=5^{x_{n+3}},\forall n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Bài 59 Xét dãy số $(u_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1<2,u_2<2\\ u_{n+2}=\frac{1}{3}(u_{n+1}+2^{u_n}),\forall n=1,2,..\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.