Bài toán (ĐHSP 2000) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi : \[\left\{\begin{matrix} a_1=a_2=1\\ a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_{n-1}}{n(n+1)} \end{matrix}\right.\] Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ hội tụ. Lời giải : Dễ dàng thấy rằng $(a_n)$ là dãy tăng không nghiêm ngặt (1). Từ đó : \[a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_{n-1}}{n(n+1)}< a_n\left ( 1+\dfrac{1}{n(n+1)} \right )< a_{n-1}\left ( 1+\dfrac{1}{n(n-1)} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{(n-1)n} \right )< ...< a_2\left ( 1+\dfrac{1}{2.3} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{3.4} \right )...\left ( 1+\dfrac{1}{n(n+1)} \right )\] Áp dụng BĐT $AM-GM$ : \[a_2\left ( 1+\dfrac{1}{2.3} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{3.4} \right )...\left ( 1+\dfrac{1}{n(n+1)} \right )\leq \left [ \dfrac{a_2+\left ( 1+\frac{1}{2.3} \right )+\left ( 1+\frac{1}{3.4} \right )+...+\left ( 1+\frac{1}{n(n+1)} \right )}{n} \right ]^n=\left ( \frac{n+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}{n} \right )^n< \left ( 1+\dfrac{1}{n} \right )^n\] Lại có : \[\left ( 1+\dfrac{1}{n} \right )^n=C_n^0+\dfrac{1}{n}.\dfrac{n}{1!}+\dfrac{1}{n^2}.\dfrac{n(n-1)}{2!}+...+\dfrac{1}{n^n}.\dfrac{n(n-1)(n-2)...2.1}{n!}< 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...+\dfrac{1}{n!}< 1+\left ( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2} +...+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right )=1+\dfrac{1-1/2^{n}}{1-1/2}=3-\dfrac{1}{2^{n-1}}< 3\] Suy ra $(a_n)$ bị chặn trên bởi $3$ (2) Từ $(1)(2)$ ta suy ra dãy $(a_n)$ hội tụ.

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (ĐHSP 2000)

Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi :

${a_{1} = a_{2} = 1 a_{n + 1} = a_{n} + \frac{a _{n - 1}}{n ( n + 1 )}$

Chứng minh rằng dãy $(u_{n})$ hội tụ.

Lời giải :

Dễ dàng thấy rằng $(a_{n})$ là dãy tăng không nghiêm ngặt (1).

Từ đó :

$a_{n + 1} = a_{n} + \frac{a _{n - 1}}{n ( n + 1 )} < a_{n} (1 + \frac{1}{n ( n + 1 )}) < a_{n - 1} (1 + \frac{1}{n ( n - 1 )}) (1 + \frac{1}{( n - 1 ) n}) < ... < a_{2} (1 + \frac{1}{2.3}) (1 + \frac{1}{3.4}) ... (1 + \frac{1}{n ( n + 1 )})$

Áp dụng BĐT $A M - GM$ :

$a_{2} (1 + \frac{1}{2.3}) (1 + \frac{1}{3.4}) ... (1 + \frac{1}{n ( n + 1 )}) \leq \frac{a _{2} + ( 1 + \frac{1}{2.3} ) + ( 1 + \frac{1}{3.4} ) + ... + ( 1 + \frac{1}{n ( n + 1 )} )}{n}^{n} = (\frac{n + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}}{n})^{n} < (1 + \frac{1}{n})^{n}$

Lại có :

$(1 + \frac{1}{n})^{n} = C_{n}^{0} + \frac{1}{n} . \frac{n}{1 !} + \frac{1}{n ^{2}} . \frac{n ( n - 1 )}{2 !} + ... + \frac{1}{n ^{n}} . \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ...2.1}{n !} < 2 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + ... + \frac{1}{n !} < 1 + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + ... + \frac{1}{2 ^{n - 1}}) = 1 + \frac{1 - 1/ 2 ^{n}}{1 - 1/2} = 3 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} < 3$

Suy ra $(a_{n})$ bị chặn trên bởi $3$ (2)

Từ $(1) (2)$ ta suy ra dãy $(a_{n})$ hội tụ.

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả