Inequality

Bài toán (Trần Quốc Anh) Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\frac{1}{(a+1{)}^2(b+c)}+\frac{1}{(b+1{)}^2(c+a)}+\frac{1}{(c+1{)}^2(a+b)}\le \frac{3}{8}$$

Lời giải :

Bổ đề (Vasile Cirtoaje) Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Chứng minh bổ đề :

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có :

${\left(\sum _{cyc}\frac{x}{x+y}\right)}^2$$\le \left[\sum _{sym}(x+z)\right]\left[\sum _{cyc}\frac{x}{(x+y)(x+z)}\right]$$=\frac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Thế nhưng ta có một kết quả quen thuộc :

$$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\le 9(x+y)(y+z)(z+x)$$

Nên :

$${\left(\sum _{cyc}\frac{x}{x+y}\right)}^2\le \frac{9}{2}$$

Từ đó bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán :

Vì $abc=1$ nên ta đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ với $x,y,z>0$.

Ta cần chứng minh :

$\sum _{cyc}\frac{1}{{\left(\frac{x}{y}+1\right)}^2\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)}$$=\sum _{cyc}\frac{x{y}^{2}z}{(x+y{)}^2(xy+z^2)}$$\le \frac{3}{8}$$\iff \sum _{cyc}\sqrt{\frac{x^2{y}^4{z}^2}{(x+y{)}^4)(xy+z^2{)}^2}}$$\le \frac{3}{8}$

Ta có :

$$(x+y{)}^4=(x-y{)}^4+8xy(x^2+y^2)\ge 8xy(x^2+y^2)$$

và

 $$(xy+z^2{)}^2\ge 4xy{z}^2$$

Nên ta chỉ cần chứng minh :

$\sum _{cyc}\sqrt{\frac{x^2{y}^4{z}^2}{8xy(x^2+y^2).4xy{z}^2}}$$\le \frac{3}{8}$$\iff \sum _{cyc}\sqrt{\frac{y^2}{x^2+y^2}}$$\le \frac{3}{\sqrt{2}}$

Điều này luôn đúng theo bổ đề. Bài toán được chứng minh.