Sequence – Limit

Bài toán (Chọn đội tuyển QG trường PTNK – ĐHQG TpHCM năm 2010-2011)

Cho dãy $(u_n)$ thỏa :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=\frac{1}{6}\\ u_{n+1}=u_n^2+\frac{2}{3}{u}_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{5u_{n+1}^2-2u_n^2{u}_{n+1}+5u_n{u}_{n+1}}{3u_n^2+u_n{u}_{n+1}(4+u_n^2)}$

Lời giải :

Dễ thấy $(u_n)$ là dãy số dương nên bị chặn dưới bởi $0$.

Mặt khác dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$ nguyên dương.

Do đó dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn $L$ :

$$L=L^2+\frac{2}{3}L\iff L\in \left\{0,\frac{1}{3}\right\}$$

Cũng dễ chứng minh được bằng quy nạp rằng $u_n<\frac{1}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Do đó mà $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$

Từ công thức truy hồi ban đầu, ta có :

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=u_n+\frac{2}{3}$$

Do vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}$

Suy ra :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{5u_{n+1}^2-2u_n^2{u}_{n+1}+5u_n{u}_{n+1}}{3u_n^2+u_n{u}_{n+1}(4+u_n^2)}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{5{\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)}^2-2u_{n+1}+5.\frac{u_{n+1}}{u_n}}{3+\frac{u_{n+1}}{u_n}(4+u_n^2)}$$=\frac{5.(2/3{)}^2-2.0+5.2/3}{3+2/3.(4+0)}$$=\frac{50}{51}$