Sequence – Limit

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Du , tỉnh Đắc Lắc)

Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ thỏa :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=1\\ u_{n+1}^2>u_n{u}_{n+2}\end{array}$$

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\frac{3}{u_3}+...+\frac{n}{u_n}\right)$

Lời giải :

Gỉa sử tồn tại $k$ nguyên dương sao cho :

$$u_{k+1}\le u_k$$

Khi đó từ đề bài ta có :

$$\frac{u_{k+2}}{u_{k+1}}<\frac{u_{k+1}}{u_k}\le 1\Rightarrow u_{k+2}<u_{k+1}$$

Kéo theo :

$$u_k\ge u_{k+1}>u_{k+2}>u_{k+3}>...$$

Điều này là không thể xảy ra vì dãy $u_n$ là dãy nguyên dương.

Do đó điều giả sử là sai, ta phải có $u_{n+1}>u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Tiếp theo ta chứng minh bằng quy nạp rằng $u_n\ge n$, điều này đúng với $n=1$. Gỉa sử có điều này. Xét với $n+1$ thì :

$$u_{n+1}>u_n=n$$

Mà $u_{n+1}\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow u_{n+1}\ge n+1$

Do đó mà :

$\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\frac{3}{u_3}+...+\frac{n}{u_n}$$\le \frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}+...+\frac{n}{n}$$=n$

Suy ra :

$0$$<\frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\frac{3}{u_3}+...+\frac{n}{u_n}\right)$$<\frac{1}{n}$

Mặt khác ta lại có :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }0=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

Nên theo định lí kẹp, ta được :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\frac{3}{u_3}+...+\frac{n}{u_n}\right)$$=0$