Inequality

Bài toán (THTT số 397) Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh :

$$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+5\ge (a+b)(b+c)(c+a)$$

Lời giải :

Ta chứng minh điều tương đương sau :

$3(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})+15$$\ge 3(a+b)(b+c)(c+a)$$=(a+b+c{)}^3-a^3-b^3-c^3$$=27-a^3-b^3-c^3$$\iff a^3+b^3+c^3+3(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})$$\ge 12$

Theo BĐT $AM-GM$ :

$a^3+3\sqrt[3]{a}$$=a^3+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}$$\ge 4\sqrt[4]{a.\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{a}}$$=4a$

Dẫn đến :

$$a^3+b^3+c^3+3(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})\ge 4(a+b+c)=12$$

Ta được điều phải chứng minh.