Sequence – Limit

Bài toán (VMO 2014)

Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ thỏa $x_1=1,y_1=\sqrt{3}$ và :

$$\{\begin{array}{c}{x}_n{y}_{n+1}-x_n=0\\ x_{n+1}^2+y_n=2\end{array}$$

Chứng minh rằng hai dãy $(x_n),(y_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tính các giới hạn đó.

Lời giải :

Ta tính được :

$x_2$$=\sqrt{2-\sqrt{3}}$$=\sqrt{2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$$=\sqrt{2\left(1-cos\frac{\pi }{6}\right)}$$=2sin\frac{\pi }{12}$

$y_2$$=\frac{x_1}{x_2}$$=\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}$$=\sqrt{2+\sqrt{3}}$$=\sqrt{2\left(1+cos\frac{\pi }{6}\right)}$$=2cos\frac{\pi }{12}$

Ta chứng minh được bằng quy nạp :

$$\{\begin{array}{c}{x}_n=2sin\frac{\pi }{3.2^n}\\ y_n=2cos\frac{\pi }{3.2^n}\end{array}$$

Từ đó suy ra ngay :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2.sin\frac{\pi }{3.2^n}\right)$$=0$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2.cos\frac{\pi }{3.2^n}\right)$$=1$