Bài toán : Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi : \[\left\{\begin{matrix} x_0> 0\\ x_{n+1}=x_n+\dfrac{1}{\sqrt[k]{x_n}},\;\forall k,n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.\] Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{x_n^{k+1}}{n^k}$ Lời giải : Dễ dàng chứng minh được $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=+\infty$ Tiếp theo, ta xét : \[x_{n+1}^{\frac{k+1}{k}}-x_n^{\frac{k+1}{k}}=\left ( x_n+\dfrac{1}{\sqrt[k]{x_n}} \right )^{\frac{k+1}{k}}-x_n^{\frac{k+1}{k}}=\left ( y_n^{k}+\dfrac{1}{y_n} \right )^{\frac{k+1}{k}}-y_n^{k+1}=\dfrac{\left ( 1+\dfrac{1}{y_n^{k+1}} \right )^{\frac{k+1}{k}}-1}{\dfrac{1}{y_n^{k+1}}}=\dfrac{(1+z_n)^{\frac{k+1}{k}}-1}{z_n}=\dfrac{t_n^{k+1}-1}{t_n^k-1}=\dfrac{t_n^k+t_n^{k-1}+...+t_n+1}{t_n^{k-1}+t_n^{k-2}+...+1}\] Trong đó : \[y_n=\sqrt[k]{x_n},z_n=\dfrac{1}{y_n^{k+1}},t_n=\sqrt[k]{1+z_n}\] Vì $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=+\infty$ nên $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}t_n=1$ Do vậy mà : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\left ( x_{n+1}^{\frac{k+1}{k}}-x_n^{\frac{k+1}{k}} \right )=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\left ( \dfrac{t_n^k+t_n^{k-1}+...+t_n+1}{t_n^{k-1}+t_n^{k-2}+...+1} \right )=\dfrac{k+1}{k}\] Từ đó áp dụng định lí trung bình $Cesaro$ ta có : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{x_n^{\frac{k+1}{k}}}{n}=\dfrac{k+1}{k}\Rightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{x_n^{k+1}}{n^k}=\left ( \dfrac{k+1}{k} \right )^k\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi :

$⎩ ⎨ ⎧ x_{0} > 0 x_{n + 1} = x_{n} + \frac{1}{k x _{n}}, \forall k, n \in N$

Tính $n \to + \infty lim \frac{x _{n}^{k + 1}}{n ^{k}}$

Lời giải :

Dễ dàng chứng minh được $n \to + \infty lim x_{n} = + \infty$

Tiếp theo, ta xét :

$x_{n + 1}^{\frac{k + 1}{k}} - x_{n}^{\frac{k + 1}{k}} = (x_{n} + \frac{1}{k x _{n}})^{\frac{k + 1}{k}} - x_{n}^{\frac{k + 1}{k}} = (y_{n}^{k} + \frac{1}{y _{n}})^{\frac{k + 1}{k}} - y_{n}^{k + 1} = \frac{( 1 + \frac{1}{y _{n}^{k + 1}} ) ^{\frac{k + 1}{k}} - 1}{\frac{1}{y _{n}^{k + 1}}} = \frac{( 1 + z _{n} ) ^{\frac{k + 1}{k}} - 1}{z _{n}} = \frac{t _{n}^{k + 1} - 1}{t _{n}^{k} - 1} = \frac{t _{n}^{k} + t _{n}^{k - 1} + ... + t _{n} + 1}{t _{n}^{k - 1} + t _{n}^{k - 2} + ... + 1}$

Trong đó :

$y_{n} = k x_{n}, z_{n} = \frac{1}{y _{n}^{k + 1}}, t_{n} = k 1 + z_{n}$

Vì $n \to + \infty lim x_{n} = + \infty$ nên $n \to + \infty lim t_{n} = 1$

Do vậy mà :

$n \to + \infty lim (x_{n + 1}^{\frac{k + 1}{k}} - x_{n}^{\frac{k + 1}{k}}) = n \to + \infty lim (\frac{t _{n}^{k} + t _{n}^{k - 1} + ... + t _{n} + 1}{t _{n}^{k - 1} + t _{n}^{k - 2} + ... + 1}) = \frac{k + 1}{k}$

Từ đó áp dụng định lí trung bình $C es a r o$ ta có :

$n \to + \infty lim \frac{x _{n}^{\frac{k + 1}{k}}}{n} = \frac{k + 1}{k} \Rightarrow n \to + \infty lim \frac{x _{n}^{k + 1}}{n ^{k}} = (\frac{k + 1}{k})^{k}$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả