1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN P,Q,R BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR Bất đẳng thức Schur dạng tổng quát : Với mọi số thực không âm ta có : Đẳng thức xảy ra khi hoặc và các hoán vị. Trường hợp , BĐT Schur có các dạng tương đương sau : i) ii) […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn Lời giải : Trong cho được : Nếu thì là hàm hằng, không thỏa mãn. Do đó . Trong cho ta được : Trong thay bởi ta được : Suy ra Từ đó : Ta dự đoán rằng Ta chứng minh bằng quy […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2013) Tìm cặp số nguyên dương sao cho là số nguyên tố và chia hết cho . Lời giải : Ta có : Từ đó ta suy ra : Do là số nguyên tố nên và Nếu Nếu thì , kéo theo và điều này […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM) Cho các số dương thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Lời giải : Từ giả thiết ta suy ra : và Do đó : Kết luận :
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong cho ta được : Trong cho ta được : Lấy được Lấy được Dự đoán : . Gỉa sử Ta có : Theo nguyên lí quy nạp ta được Trong cho được Do vậy : Kết luận : Hàm số cần […]
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Ta có thể viết phương trình hàm đã cho dưới dạng : Đặt ta được : Điều này dẫn đến : Tức là Kéo theo : Kết luận : Hàm số cần tìm là
Bài toán (USA TST 2010) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta đổi biến Ta cần chứng minh : Theo : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế : Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán : Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta có : Ta có : Mặt khác theo BĐT : Từ việc chứng minh hoàn tất nếu ta chỉ ra được : Điều này luôn đúng vì Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận) Tìm tất cả các hàm số xác định trên và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : Lời giải : Trong ta cho được Nếu thì trong cho được , mâu thuẫn với . Do vậy . […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014) Cho các số thực dương . Chứng minh : Lời giải : Trước hết ta sẽ chứng minh : Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa . Khi đó chỉ cần chỉ ra rằng : Điều này luôn đúng […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014) Giải hệ phương trình Lời giải : Ta có : Đẳng thức xảy ra khi và Tương tự và đẳng thức xảy ra khi và Do đó ta có : Do phương trình đầu nên đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 11 năm 2013) Cho dãy số : a) Tính b) Tính Lời giải : a) Ta có : Kéo theo : Ta đặt ta được : Ta có và là cấp số nhân công bội nên : Suy ra Từ đó ta có b) Dễ dàng […]
Bài toán (Đề thi HSG toán 12 tỉnh Đồng Nai năm 2013-2014) Cho dãy số Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi . Tìm . Lời giải : Dễ dàng thấy rằng . Mặt khác ta chứng minh bằng quy nạp rằng dãy số trên giảm nghiêm ngặt. Thật vậy, ta có . Gỉa […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai) Cho dãy số : Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó. Lời giải : Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng . Tiếp theo ta chứng minh bằng quy nạp .Thật […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Long An, tỉnh Long An) Cho dãy số thỏa mãn : Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Dễ thấy là dãy số dương. Từ đó ta có : Kéo theo […]
Bài toán : Cho dãy số thỏa : Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó. Lời giải : Ta chứng minh dãy giảm nghiêm ngặt bằng quy nạp. Dễ dàng kiểm tra được . Gỉa sử, ta có : Chú ý tính đồng biến của hàm . […]
Bài toán (Chọn đội tuyển HSGQG tỉnh Lâm Đồng 2013-2014) Cho dãy số thỏa mãn : a) Chứng minh rằng b) Tìm Lời giải : a) Từ giả thiết dễ thấy dãy đã cho là dãy dương. Ta có : Ta chứng minh là dãy tăng. Thật vậy, ta có . Gỉa sử . Ta […]
Bài toán (Chọn đội tuyển HSGQG Tp Hải Phòng 2013-2014) Dãy số cho bởi Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm Lời giải : Dễ thấy là dãy số dương, ta có ngay , suy ra . Tức là . Như vậy dãy bị chặn. Xét hàm số , hàm này nghịch biến trên . Theo giả thiết thì […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 11 năm 2012) Cho dãy số xác định bởi Chứng minh rằng Với mỗi số nguyên dương , ta đặt . Tính . Lời giải : Dễ dàng chứng minh được là dãy dương bằng quy nạp toán học. Ta chứng minh dãy là dãy tăng. Thật vậy, […]
Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2001 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên) Cho dãy xác định bởi a) Xác định số hạng tổng quát của . b) Chứng minh rằng số có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi số […]